Номер 1, страница 217, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 23. Центр тяжести. Виды равновесия - номер 1, страница 217.

Условие.

°1. Докажите, что в рассмотренной выше ситуации алгебраическая сумма моментов сил тяжести шариков относительно их общего центра тяжести $\text{C}$ равна нулю.

Это справедливо для центра тяжести любого тела: алгебраическая сумма моментов сил тяжести, действующих на все части тела, относительно его центра тяжести равна нулю.

Центр тяжести однородного тела правильной формы совпадает с его геометрическим центром (рис. 23.3).

Рис. 23.3

Решение 2.

1. Решение

По определению, центр тяжести (точка C) системы тел (в данном случае, шариков) – это точка, положение которой описывается радиус-вектором $r_C$, удовлетворяющим условию:

$r_C = \frac{\sum_{i} m_i r_i}{\sum_{i} m_i}$

где $m_i$ – масса i-го тела, а $r_i$ – его радиус-вектор.

Рассмотрим проекцию этого векторного равенства на горизонтальную ось Ox. Координата центра тяжести $x_C$ равна:

$x_C = \frac{\sum_{i} m_i x_i}{\sum_{i} m_i}$

Умножим обе части на суммарную массу $M = \sum_{i} m_i$ и преобразуем полученное выражение:

$(\sum_{i} m_i) \cdot x_C = \sum_{i} m_i x_i$

$\sum_{i} m_i x_i - (\sum_{i} m_i) x_C = 0$

$\sum_{i} (m_i x_i - m_i x_C) = 0$

$\sum_{i} m_i (x_i - x_C) = 0$

Это равенство является прямым следствием определения координаты центра тяжести.

Теперь рассмотрим алгебраическую сумму моментов сил тяжести относительно общего центра тяжести C. Момент силы тяжести $F_{Ti} = m_i g$, действующей на i-й шарик, относительно точки C равен произведению модуля силы на плечо.

Силы тяжести направлены вертикально вниз. Плечом для силы $F_{Ti}$ относительно точки C будет горизонтальное расстояние от шарика до вертикальной оси, проходящей через C. В алгебраической форме плечо равно $(x_i - x_C)$. Знак плеча зависит от того, с какой стороны от центра тяжести находится шарик (справа или слева).

Алгебраический момент $M_i$ силы тяжести $F_{Ti}$ относительно точки C равен:

$M_i = F_{Ti} \cdot (x_i - x_C) = m_i g (x_i - x_C)$

Суммарный момент всех сил тяжести относительно центра тяжести C равен алгебраической сумме моментов от каждого шарика:

$M_{общ} = \sum_{i} M_i = \sum_{i} m_i g (x_i - x_C)$

Вынесем постоянную величину – ускорение свободного падения $\text{g}$ – за знак суммы:

$M_{общ} = g \sum_{i} m_i (x_i - x_C)$

Как мы показали ранее из определения центра тяжести, выражение в скобках равно нулю:

$\sum_{i} m_i (x_i - x_C) = 0$

Следовательно, итоговый суммарный момент также равен нулю:

$M_{общ} = g \cdot 0 = 0$

Таким образом, доказано, что алгебраическая сумма моментов сил тяжести шариков относительно их общего центра тяжести C равна нулю. Это свойство является фундаментальным для понятия центра тяжести: это точка, относительно которой суммарный вращающий момент сил тяжести, действующих на все части тела, равен нулю.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма моментов сил тяжести относительно центра тяжести равна нулю, что непосредственно следует из определения центра тяжести.