Номер 4, страница 218, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 23. Центр тяжести. Виды равновесия - номер 4, страница 218.

Условие.

4. Три небольших шарика массой $\text{m}$ каждый соединены лёгкими стержнями (рис. 23.4).

а) Где находится центр тяжести шариков 1 и 2?

Рис. 23.4

Полученный ответ означает, что два шарика 1 и 2 можно заменить одним шариком массой $2m$, находящимся в общем центре тяжести шариков 1 и 2, то есть в середине соединяющего их стержня (рис. 23.5).

Рис. 23.5

б) Где находится общий центр тяжести всех трёх шариков?

Похожая задача

Решение 2.

а) Где находится центр тяжести шариков 1 и 2?

Центр тяжести системы, состоящей из двух материальных точек, лежит на отрезке, соединяющем эти точки. Если массы точек одинаковы, как в данном случае (масса каждого шарика равна $\text{m}$), то их общий центр тяжести находится ровно посередине этого отрезка.

Следовательно, центр тяжести шариков 1 и 2 находится в середине лёгкого стержня, который их соединяет.

Ответ: Центр тяжести шариков 1 и 2 находится в середине стержня, соединяющего их.

б) Где находится общий центр тяжести всех трёх шариков?

Дано:
Масса шарика 1: $m_1 = m$
Масса шарика 2: $m_2 = m$
Масса шарика 3: $m_3 = m$

Найти:
Положение общего центра тяжести $C_{общ}$ трёх шариков.

Решение:

Для нахождения общего центра тяжести трёх шариков воспользуемся методом группировки. Сначала найдём центр тяжести для пары шариков 1 и 2, а затем найдём общий центр тяжести для этой пары и оставшегося шарика 3.

1. Как было установлено в пункте а), центр тяжести шариков 1 и 2 находится в середине соединяющего их стержня. Мы можем мысленно заменить эти два шарика одним телом массой $M_{12} = m_1 + m_2 = m + m = 2m$, расположенным в этой точке (обозначим её $C_{12}$).

2. Теперь задача сводится к нахождению центра тяжести системы, состоящей из двух точек:

• Точка $C_{12}$ с массой $M_{12} = 2m$.
• Точка 3 (центр шарика 3) с массой $m_3 = m$.

Общий центр тяжести $C_{общ}$ этой системы будет лежать на отрезке, соединяющем точку $C_{12}$ и шарик 3. Этот отрезок является медианой треугольника, образованного центрами шариков (так как он соединяет вершину 3 с серединой противоположной стороны 1-2).

Положение центра тяжести на этом отрезке определяется правилом рычага: произведение массы на расстояние до центра тяжести для одного тела равно аналогичному произведению для другого тела. Пусть $l_1$ — расстояние от $C_{общ}$ до точки $C_{12}$, а $l_2$ — расстояние от $C_{общ}$ до шарика 3. Тогда:

$M_{12} \cdot l_1 = m_3 \cdot l_2$

Подставим значения масс:

$2m \cdot l_1 = m \cdot l_2$

Разделив обе части на $\text{m}$, получим:

$2l_1 = l_2$

Это соотношение показывает, что расстояние от общего центра тяжести до шарика 3 в два раза больше, чем до точки $C_{12}$. Таким образом, общий центр тяжести $C_{общ}$ делит медиану, проведенную из вершины 3, в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка пересечения медиан треугольника как раз и обладает этим свойством. Следовательно, общий центр тяжести трёх шариков совпадает с точкой пересечения медиан треугольника, в вершинах которого они находятся.

Ответ: Общий центр тяжести всех трёх шариков находится в точке пересечения медиан треугольника, образованного центрами этих шариков.