Номер 10, страница 221, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 23. Центр тяжести. Виды равновесия - номер 10, страница 221.

Условие.

10. Гладкая тонкая палочка длиной $\text{l}$ и массой $\text{m}$ покоится в гладком цилиндрическом стакане, опираясь на его край (рис. 23.15).

а) Изобразите на чертеже в тетради все силы, действующие на палочку.

б) Относительно какой оси удобно использовать в данной ситуации правило моментов?

в) Запишите второе условие равновесия для палочки относительно выбранной оси.

г) Найдите силу, с которой палочка длиной 15 см давит на край стакана, если масса палочки равна 100 г, высота стакана 8 см, а его диаметр 6 см.

Рис. 23.15

Решение 2.

а) На палочку действуют три силы:
1. Сила тяжести $m\vec{g}$, приложенная к центру масс палочки (ее середине) и направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции $\vec{N_1}$ со стороны дна стакана, приложенная к нижнему концу палочки и направленная вертикально вверх (так как дно горизонтальное, а стакан гладкий).
3. Сила нормальной реакции $\vec{N_2}$ со стороны края стакана, приложенная к точке касания палочки с краем и направленная перпендикулярно палочке (так как стакан гладкий).
Ответ: На палочку действуют сила тяжести, сила реакции со стороны дна стакана и сила реакции со стороны края стакана.

б) Правило моментов удобно использовать относительно оси, проходящей через точку приложения одной из неизвестных сил. В этом случае момент данной силы относительно выбранной оси равен нулю, что упрощает уравнение моментов. В данной задаче наиболее удобными являются оси, проходящие через нижний конец палочки (точка приложения силы $\vec{N_1}$) или через точку опоры палочки на край стакана (точка приложения силы $\vec{N_2}$).
Ответ: Удобно использовать ось, проходящую через точку касания палочки дна стакана, или ось, проходящую через точку касания палочки края стакана.

в) Второе условие равновесия гласит, что алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно любой оси равна нулю ($\sum M = 0$). Это означает, что сумма моментов сил, вращающих тело по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки.
Выберем ось вращения, проходящую через нижний конец палочки.
Момент силы тяжести $m\vec{g}$ вращает палочку по часовой стрелке. Плечо этой силы равно $d_g = \frac{l}{2} \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол наклона палочки к горизонтали. Момент $M_g = mg \frac{l}{2} \cos\alpha$.
Момент силы реакции опоры $\vec{N_2}$ вращает палочку против часовой стрелки. Сила $\vec{N_2}$ перпендикулярна палочке, поэтому ее плечо равно расстоянию от оси вращения до точки приложения силы. Из геометрии задачи это расстояние равно $L = \sqrt{h^2 + d^2}$. Момент $M_{N_2} = N_2 \sqrt{h^2 + d^2}$.
Условие равновесия моментов: $M_g = M_{N_2}$.
Подставляя выражения для моментов, получаем: $mg \frac{l}{2} \cos\alpha = N_2 \sqrt{h^2 + d^2}$.
Из геометрии также следует, что $\cos\alpha = \frac{d}{\sqrt{h^2+d^2}}$.
Подставим выражение для $\cos\alpha$ в уравнение равновесия:
$mg \frac{l}{2} \frac{d}{\sqrt{h^2+d^2}} = N_2 \sqrt{h^2+d^2}$.
Ответ: Второе условие равновесия относительно оси, проходящей через нижний конец палочки, имеет вид $mg \frac{l}{2} \frac{d}{\sqrt{h^2+d^2}} = N_2 \sqrt{h^2+d^2}$.

г)

Дано:

$l = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

$h = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$d = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{P}$ - ?

Решение:

Сила $\text{P}$, с которой палочка давит на край стакана, по третьему закону Ньютона равна по модулю силе нормальной реакции $N_2$, с которой край стакана действует на палочку: $P = N_2$.
Найдем $N_2$ из уравнения моментов, полученного в пункте (в):
$mg \frac{l}{2} \frac{d}{\sqrt{h^2+d^2}} = N_2 \sqrt{h^2+d^2}$
Выразим $N_2$:
$N_2 = \frac{mgld}{2(h^2+d^2)}$
Подставим числовые значения в систему СИ:
$N_2 = \frac{0.1 \cdot 9.8 \cdot 0.15 \cdot 0.06}{2((0.08)^2 + (0.06)^2)} = \frac{0.00882}{2(0.0064 + 0.0036)} = \frac{0.00882}{2 \cdot 0.01} = \frac{0.00882}{0.02} = 0.441 \text{ Н}$
Следовательно, сила давления палочки на край стакана $P = 0.441$ Н.

Ответ: $P = 0.441 \text{ Н}$.