Номер 16, страница 223, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 23. Центр тяжести. Виды равновесия - номер 16, страница 223.

Условие.

16. На столе лежит куб массой 4 кг. Длина ребра куба 10 см. Какую минимальную работу надо совершить, поворачивая куб вокруг ребра, чтобы перевести его в положение неустойчивого равновесия? Примите, что куб не проскальзывает по столу.

Решение 2.

Дано:

Масса куба, $m = 4 \text{ кг}$
Длина ребра куба, $a = 10 \text{ см}$

$a = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Минимальную работу $A_{min}$.

Решение:

Минимальная работа, которую необходимо совершить для перемещения тела в поле силы тяжести, равна изменению его потенциальной энергии. Это справедливо, если изменение кинетической энергии тела равно нулю, то есть перемещение происходит очень медленно.

$A_{min} = \Delta E_p = E_{p2} - E_{p1}$

Здесь $E_{p1}$ — это начальная потенциальная энергия куба, а $E_{p2}$ — его конечная потенциальная энергия в положении неустойчивого равновесия. Потенциальная энергия тела в поле тяжести вычисляется по формуле $E_p = mgh$, где $\text{h}$ — высота центра масс тела относительно выбранного нулевого уровня. В качестве нулевого уровня примем поверхность стола.

1. Начальное положение. Когда куб лежит на столе, его центр масс (геометрический центр) находится на высоте $h_1$, равной половине длины ребра куба:

$h_1 = \frac{a}{2}$

Следовательно, начальная потенциальная энергия равна:

$E_{p1} = mgh_1 = mg\frac{a}{2}$

2. Конечное положение. Положение неустойчивого равновесия достигается, когда куб стоит на одном ребре так, что его центр масс находится точно над этим ребром (осью вращения). В этом случае высота центра масс $h_2$ над столом будет равна расстоянию от центра куба до этого ребра. Это расстояние равно половине диагонали грани куба.

Диагональ квадратной грани со стороной $\text{a}$ равна $d = a\sqrt{2}$.

Тогда высота центра масс в конечном положении:

$h_2 = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Конечная потенциальная энергия:

$E_{p2} = mgh_2 = mg\frac{a\sqrt{2}}{2}$

3. Вычисление работы. Теперь мы можем найти минимальную работу как разность конечной и начальной потенциальных энергий:

$A_{min} = E_{p2} - E_{p1} = mg\frac{a\sqrt{2}}{2} - mg\frac{a}{2} = \frac{mga}{2}(\sqrt{2} - 1)$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$A_{min} = \frac{4 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.1 \text{ м}}{2}(\sqrt{2} - 1) = \frac{4}{2}(\sqrt{2} - 1) \text{ Дж} = 2(\sqrt{2} - 1) \text{ Дж}$

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$A_{min} \approx 2(1.414 - 1) \text{ Дж} = 2 \cdot 0.414 \text{ Дж} = 0.828 \text{ Дж}$

Округлим результат до сотых.

Ответ: Минимальная работа, которую надо совершить, равна $2(\sqrt{2} - 1) \text{ Дж} \approx 0.83 \text{ Дж}$.