Номер 22, страница 223, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 23. Центр тяжести. Виды равновесия - номер 22, страница 223.

Условие.

22. На полу лежит куб массой $\text{m}$. Какой минимальной силой можно опрокинуть этот куб через ребро? Примите, что проскальзывания между полом и кубом нет.

Решение 2.

Дано:

масса куба - $\text{m}$

Найти:

минимальную силу для опрокидывания - $F_{min}$

Решение:

Опрокидывание куба происходит вокруг одного из его нижних ребер, которое в данном случае выступает в роли оси вращения. Для того чтобы куб начал опрокидываться, момент силы, создаваемый приложенной силой $\text{F}$ относительно этой оси вращения (опрокидывающий момент $M_F$), должен быть по крайней мере равен моменту силы тяжести, который препятствует опрокидыванию (восстанавливающий момент $M_g$).

В предельном случае, в момент начала опрокидывания, эти моменты равны:

$M_F = M_g$

Обозначим длину ребра куба как $\text{a}$. Сила тяжести $P = mg$ приложена к центру масс куба, который находится в его геометрическом центре. Плечо силы тяжести относительно ребра-оси вращения равно половине длины ребра, то есть $d_g = \frac{a}{2}$.

Таким образом, восстанавливающий момент силы тяжести равен:

$M_g = P \cdot d_g = mg \frac{a}{2}$

Приложенная сила $\text{F}$ создает опрокидывающий момент $M_F = F \cdot l$, где $\text{l}$ - плечо этой силы. Условие начала опрокидывания можно записать как:

$F \cdot l = mg \frac{a}{2}$

Из этого выражения можно выразить силу $\text{F}$:

$F = \frac{mg \cdot a}{2l}$

Чтобы найти минимальную силу $F_{min}$, необходимо приложить ее так, чтобы ее плечо $\text{l}$ было максимальным ($l_{max}$). Плечо силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Максимальное плечо можно получить, если приложить силу к точке куба, наиболее удаленной от оси вращения (нижнего ребра). Такой точкой является любая точка на противоположном верхнем ребре. Расстояние от оси вращения до этой точки равно диагонали боковой грани куба.

Найдем длину диагонали $\text{d}$ боковой грани по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$

Чтобы плечо силы $\text{l}$ было равно этому расстоянию, сила $\text{F}$ должна быть приложена перпендикулярно этой диагонали. Таким образом, максимальное возможное плечо силы $l_{max} = d = a\sqrt{2}$.

Теперь можем найти минимальную силу, подставив $l_{max}$ в формулу для силы:

$F_{min} = \frac{mg \cdot a}{2 \cdot l_{max}} = \frac{mg \cdot a}{2 \cdot a\sqrt{2}} = \frac{mg}{2\sqrt{2}}$

Можно также рационализировать знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$F_{min} = \frac{mg \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{mg\sqrt{2}}{4}$

Ответ: Минимальная сила, которой можно опрокинуть куб, равна $F_{min} = \frac{mg}{2\sqrt{2}}$ или $F_{min} = \frac{mg\sqrt{2}}{4}$.