Номер 19, страница 223, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 23. Центр тяжести. Виды равновесия - номер 19, страница 223.

Условие.

19. Цепь длиной $\text{l}$ удерживается на гладком столе так, что половина цепи свисает со стола. После того как цепь отпускают, она начинает соскальзывать со стола. Чему будет равна скорость цепи в момент, когда она оторвётся от стола? Высота стола больше длины цепи.

Решение 2.

Дано:

Длина цепи: $\text{l}$

Начальная скорость: $v_1 = 0$

Начальная длина свисающей части: $l/2$

Стол гладкий (трение отсутствует)

Масса цепи: $\text{m}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Скорость цепи в момент, когда она полностью соскользнет со стола: $\text{v}$

Решение:

Поскольку стол гладкий и силы сопротивления воздуха пренебрежимо малы, полная механическая энергия системы "цепь-Земля" сохраняется. Запишем закон сохранения энергии:

$E_1 = E_2$

где $E_1$ – полная механическая энергия в начальный момент времени, а $E_2$ – полная механическая энергия в конечный момент времени.

Полная механическая энергия складывается из кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий: $E = E_k + E_p$.

Примем за нулевой уровень потенциальной энергии плоскость стола.

1. Начальное состояние.

Цепь покоится, поэтому её начальная кинетическая энергия равна нулю: $E_{k1} = 0$.

Потенциальная энергия состоит из двух частей: энергии части цепи, лежащей на столе, и энергии свисающей части. Потенциальная энергия части на столе (длиной $l/2$) равна нулю, так как она находится на нулевом уровне.

Свисающая часть цепи имеет длину $l/2$ и массу $m/2$. Так как цепь однородна, её центр масс находится на середине этой части, то есть на глубине $(l/2)/2 = l/4$ под уровнем стола. Потенциальная энергия этой части отрицательна:

$E_{p1} = \frac{m}{2} \cdot g \cdot (-\frac{l}{4}) = -\frac{mgl}{8}$

Таким образом, полная начальная энергия системы:

$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = 0 - \frac{mgl}{8} = -\frac{mgl}{8}$

2. Конечное состояние.

В момент, когда цепь полностью соскальзывает со стола, вся она движется с некоторой скоростью $\text{v}$. Её кинетическая энергия равна:

$E_{k2} = \frac{1}{2}mv^2$

В этот момент вся цепь длиной $\text{l}$ и массой $\text{m}$ свисает со стола. Её центр масс находится на середине длины, то есть на глубине $l/2$ под уровнем стола. Потенциальная энергия цепи в этот момент:

$E_{p2} = m \cdot g \cdot (-\frac{l}{2}) = -\frac{mgl}{2}$

Полная конечная энергия системы:

$E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{mgl}{2}$

3. Применение закона сохранения энергии.

Приравниваем начальную и конечную энергии:

$E_1 = E_2$

$-\frac{mgl}{8} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{mgl}{2}$

Выразим отсюда скорость $\text{v}$. Перенесем член с потенциальной энергией в левую часть:

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{mgl}{2} - \frac{mgl}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{4mgl - mgl}{8} = \frac{3mgl}{8}$

Сократим массу $\text{m}$ и умножим обе части на 2:

$v^2 = \frac{3gl}{4}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти скорость:

$v = \sqrt{\frac{3gl}{4}} = \frac{\sqrt{3gl}}{2}$

Ответ: $v = \frac{\sqrt{3gl}}{2}$