Номер 14, страница 222, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 23. Центр тяжести. Виды равновесия - номер 14, страница 222.

Условие.

14. Найдите центр тяжести трёх небольших шаров, соединённых лёгкими стержнями и находящихся в вершинах равностороннего треугольника (рис. 23.16).

Рис. 23.16

Решение 2.

Дано:

Три шара с массами $m_1 = m$ (вершина 1), $m_2 = m$ (вершина 2) и $m_3 = 2m$ (вершина 3).

Шары расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной $\text{a}$.

Соединительные стержни невесомы (их массой можно пренебречь).

Найти:

Положение центра тяжести системы.

Решение:

Центр тяжести системы материальных точек совпадает с её центром масс. Для нахождения центра масс воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы начало координат $(0, 0)$ совпадало с шаром 1 (масса $m_1=m$), а ось Ox была направлена вдоль стороны, соединяющей шары 1 и 3. Пусть длина стороны равностороннего треугольника равна $\text{a}$.

В этой системе координат положения шаров будут следующими:

1. Шар 1: масса $m_1 = m$, координаты $(x_1, y_1) = (0, 0)$.

2. Шар 3: масса $m_3 = 2m$, координаты $(x_3, y_3) = (a, 0)$.

3. Шар 2: масса $m_2 = m$. Его x-координата равна половине длины основания, то есть $x_2 = a/2$. Его y-координата равна высоте равностороннего треугольника $h = a \sin(60^\circ) = a\frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, координаты шара 2: $(x_2, y_2) = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2})$.

Координаты центра масс системы $(x_c, y_c)$ определяются по формулам:

$x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$

$y_c = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3}$

Общая масса системы $M = m_1 + m_2 + m_3 = m + m + 2m = 4m$.

Подставим известные значения в формулы и вычислим координаты.

Координата $x_c$:

$x_c = \frac{m \cdot 0 + m \cdot \frac{a}{2} + 2m \cdot a}{4m} = \frac{0 + \frac{ma}{2} + 2ma}{4m} = \frac{\frac{5ma}{2}}{4m} = \frac{5a}{8}$

Координата $y_c$:

$y_c = \frac{m \cdot 0 + m \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + 2m \cdot 0}{4m} = \frac{\frac{ma\sqrt{3}}{2}}{4m} = \frac{a\sqrt{3}}{8}$

Таким образом, центр тяжести системы находится в точке с координатами $(\frac{5a}{8}, \frac{a\sqrt{3}}{8})$ относительно выбранной системы координат.

Ответ: Центр тяжести системы находится в точке с координатами $(\frac{5a}{8}, \frac{a\sqrt{3}}{8})$ в системе координат, где шар 1 находится в начале координат, а шар 3 — на оси Ox на расстоянии $\text{a}$ от начала координат.