Номер 18, страница 223, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 23. Центр тяжести. Виды равновесия - номер 18, страница 223.

Условие.

18. К вертикальной гладкой стене на верёвке длиной $\text{l}$ подвешен однородный шар массой $\text{m}$ и радиусом $\text{R}$ (рис. 23.17). Чему равна сила натяжения нити $\text{T}$ и сила давления $\text{N}$ стены на шар?

Рис. 23.17

Решение 2.

Дано:

масса однородного шара: $\text{m}$

радиус шара: $\text{R}$

длина верёвки: $\text{l}$

Найти:

силу натяжения нити: $\text{T}$

силу давления стены на шар: $\text{N}$

Решение:

Шар находится в состоянии равновесия. Это означает, что векторная сумма всех сил, действующих на шар, равна нулю. На шар действуют три силы:

1. Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз и приложенная к центру шара О.

2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити от шара.

3. Сила реакции опоры $\vec{N}$ (сила давления стены), направленная перпендикулярно стене от неё, то есть горизонтально. Поскольку стена гладкая, сила трения отсутствует.

Условие равновесия шара в векторном виде:

$\vec{T} + \vec{N} + m\vec{g} = 0$

Введем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально вправо, от стены. Начало координат поместим в центр шара О. Запишем условие равновесия в проекциях на оси координат:

Ось OX: $N - T_x = 0$

Ось OY: $T_y - mg = 0$

Здесь $T_x$ и $T_y$ – проекции силы натяжения $\vec{T}$ на оси OX и OY соответственно. Пусть нить образует с вертикалью угол $\alpha$. Тогда:

$T_x = T \sin{\alpha}$

$T_y = T \cos{\alpha}$

Подставим эти выражения в уравнения равновесия:

1) $N - T \sin{\alpha} = 0 \Rightarrow N = T \sin{\alpha}$

2) $T \cos{\alpha} - mg = 0 \Rightarrow T = \frac{mg}{\cos{\alpha}}$

Теперь определим угол $\alpha$ из геометрии системы. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой подвеса нити, центром шара О и точкой на стене, находящейся на одной горизонтали с центром шара. Гипотенуза этого треугольника равна сумме длины нити и радиуса шара, то есть $l + R$. Катет, противолежащий углу $\alpha$, равен радиусу шара $\text{R}$. Тогда:

$\sin{\alpha} = \frac{R}{l+R}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$, найдем $\cos{\alpha}$:

$\cos{\alpha} = \sqrt{1 - \sin^2{\alpha}} = \sqrt{1 - \left(\frac{R}{l+R}\right)^2} = \sqrt{\frac{(l+R)^2 - R^2}{(l+R)^2}} = \frac{\sqrt{l^2 + 2lR + R^2 - R^2}}{l+R} = \frac{\sqrt{l^2 + 2lR}}{l+R} = \frac{\sqrt{l(l+2R)}}{l+R}$

Теперь можем найти искомые силы. Подставим выражение для $\cos{\alpha}$ в формулу для силы натяжения $\text{T}$:

$T = \frac{mg}{\cos{\alpha}} = \frac{mg}{\frac{\sqrt{l(l+2R)}}{l+R}} = mg \frac{l+R}{\sqrt{l(l+2R)}}$

Для нахождения силы давления $\text{N}$ подставим найденное значение $\text{T}$ и $\sin{\alpha}$ в уравнение (1):

$N = T \sin{\alpha} = \left( mg \frac{l+R}{\sqrt{l(l+2R)}} \right) \cdot \frac{R}{l+R} = mg \frac{R}{\sqrt{l(l+2R)}}$

Ответ:

Сила натяжения нити равна $T = mg \frac{l+R}{\sqrt{l(l+2R)}}$. Сила давления стены на шар равна $N = mg \frac{R}{\sqrt{l(l+2R)}}$.