Номер 13, страница 222, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 23. Центр тяжести. Виды равновесия - номер 13, страница 222.

Условие.

13. На столе лежит однородная дощечка в форме параллелепипеда. На один из её концов кладут небольшой груз массой 250 г и начинают постепенно выдвигать этот конец за край стола так, что дощечка всё время остаётся перпендикулярной краю. Чему равна масса дощечки, если она опрокидывается, когда её конец выдвигают более чем на треть длины дощечки?

Решение 2.

Дано:

$m_г = 250 \text{ г}$

$x = \frac{1}{3} L$

$m_г = 250 \text{ г} = 0.25 \text{ кг}$

Найти:

$m_д$ — ?

Решение:

Пусть $\text{L}$ — длина дощечки, а $m_д$ — её масса. Так как дощечка однородная, её центр масс находится посередине, на расстоянии $L/2$ от любого из концов. Сила тяжести дощечки $F_д = m_д g$ приложена к её центру масс.

На конец дощечки, который выдвигают за край стола, кладут груз массой $m_г$. Сила тяжести груза $F_г = m_г g$ приложена к этому концу.

Опрокидывание дощечки происходит, когда центр тяжести системы "дощечка + груз" оказывается за краем стола. В предельном случае, в момент начала опрокидывания, дощечка находится в состоянии равновесия, а точкой опоры (осью вращения) является край стола.

Условие равновесия — равенство моментов сил, вращающих дощечку по часовой стрелке (опрокидывающий момент) и против часовой стрелки (удерживающий момент) относительно точки опоры.

Опрокидывающий момент создает груз. Его плечо $l_г$ равно длине выдвинутой части дощечки, то есть $l_г = x$.

$M_г = F_г \cdot l_г = (m_г \cdot g) \cdot x$

Удерживающий момент создает сила тяжести самой дощечки. Её плечо $l_д$ равно расстоянию от края стола (точки опоры) до центра масс дощечки.

$l_д = \frac{L}{2} - x$

$M_д = F_д \cdot l_д = (m_д \cdot g) \cdot (\frac{L}{2} - x)$

В момент равновесия моменты равны:

$M_г = M_д$

$(m_г \cdot g) \cdot x = (m_д \cdot g) \cdot (\frac{L}{2} - x)$

Сократим обе части уравнения на $\text{g}$:

$m_г \cdot x = m_д \cdot (\frac{L}{2} - x)$

По условию, опрокидывание происходит, когда дощечку выдвигают более чем на треть длины. Предельное состояние равновесия достигается при $x = \frac{L}{3}$. Подставим это значение в уравнение:

$m_г \cdot \frac{L}{3} = m_д \cdot (\frac{L}{2} - \frac{L}{3})$

Вычислим выражение в скобках:

$\frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{3L - 2L}{6} = \frac{L}{6}$

Подставим обратно в уравнение:

$m_г \cdot \frac{L}{3} = m_д \cdot \frac{L}{6}$

Сократим обе части на $\text{L}$:

$\frac{m_г}{3} = \frac{m_д}{6}$

Выразим массу дощечки $m_д$:

$m_д = \frac{6 \cdot m_г}{3} = 2 \cdot m_г$

Подставим известное значение массы груза:

$m_д = 2 \cdot 250 \text{ г} = 500 \text{ г}$

Ответ: масса дощечки равна 500 г.