Номер 11, страница 222, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 23. Центр тяжести. Виды равновесия - номер 11, страница 222.

Условие.

11. Стержень массой 2 кг и длиной 1 м подвешен на нити, при-чём точка подвеса находится на расстоянии 20 см от одного из концов стержня. Груз какой массы надо подвесить к тому же концу стержня, чтобы он мог находиться в равновесии в гори-зонтальном положении?

Решение 2.

Дано:

Масса стержня $m_{с} = 2$ кг

Длина стержня $L = 1$ м

Расстояние от точки подвеса до конца стержня $d_{1} = 20$ см

Перевод в СИ:

$d_{1} = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Массу груза $m_{г}$

Решение:

Для того чтобы стержень находился в равновесии в горизонтальном положении, необходимо выполнить условие равновесия рычага (правило моментов): сумма моментов сил, вращающих стержень по часовой стрелке, должна быть равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки, относительно точки опоры (точки подвеса).

На стержень действуют две силы, создающие вращающий момент:

1. Сила тяжести самого стержня $F_{с} = m_{с}g$, которая приложена к его центру масс. Так как стержень однородный, его центр масс находится посередине, на расстоянии $L/2$ от любого конца.
2. Сила тяжести подвешенного груза $F_{г} = m_{г}g$, которая приложена к концу стержня.

Осью вращения является точка подвеса. Момент силы равен произведению силы на её плечо (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

Плечо силы тяжести груза $l_{г}$ равно расстоянию от точки подвеса до конца стержня, куда подвешен груз: $l_{г} = d_{1}$.

Момент, создаваемый грузом, вращает стержень в одну сторону (например, против часовой стрелки):

$M_{г} = F_{г} \cdot l_{г} = m_{г}g \cdot d_{1}$

Плечо силы тяжести стержня $l_{с}$ равно расстоянию от точки подвеса до центра масс стержня. Центр масс находится на расстоянии $L/2 = 1 \text{ м} / 2 = 0.5 \text{ м}$ от конца. Точка подвеса находится на расстоянии $d_{1} = 0.2 \text{ м}$ от того же конца. Следовательно, плечо силы тяжести стержня равно:

$l_{с} = \frac{L}{2} - d_{1}$

Момент, создаваемый силой тяжести стержня, вращает его в противоположную сторону (по часовой стрелке):

$M_{с} = F_{с} \cdot l_{с} = m_{с}g \cdot (\frac{L}{2} - d_{1})$

Согласно условию равновесия, моменты должны быть равны:

$M_{г} = M_{с}$

$m_{г}g \cdot d_{1} = m_{с}g \cdot (\frac{L}{2} - d_{1})$

Сократим ускорение свободного падения $\text{g}$ в обеих частях уравнения:

$m_{г} \cdot d_{1} = m_{с} \cdot (\frac{L}{2} - d_{1})$

Выразим искомую массу груза $m_{г}$:

$m_{г} = m_{с} \frac{\frac{L}{2} - d_{1}}{d_{1}}$

Подставим числовые значения:

$m_{г} = 2 \text{ кг} \cdot \frac{\frac{1 \text{ м}}{2} - 0.2 \text{ м}}{0.2 \text{ м}} = 2 \cdot \frac{0.5 - 0.2}{0.2} = 2 \cdot \frac{0.3}{0.2} = 2 \cdot 1.5 = 3 \text{ кг}$

Ответ:

Чтобы стержень находился в равновесии, к его концу надо подвесить груз массой 3 кг.