Номер 15, страница 223, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 23. Центр тяжести. Виды равновесия - номер 15, страница 223.

Условие.

15. Стержень длиной 1 м изготовлен из двух частей одинакового сечения длиной 50 см каждая. Одна часть изготовлена из свинца, а другая — из железа. Где находится центр тяжести этого стержня?

Решение 2.

Дано:

Общая длина стержня, $L = 1$ м
Длина свинцовой части, $l_{св} = 50$ см
Длина железной части, $l_{жел} = 50$ см
Поперечное сечение частей одинаково, $S_{св} = S_{жел} = S$

Перевод в систему СИ:

$l_{св} = 0.5$ м
$l_{жел} = 0.5$ м

Найти:

Положение центра тяжести стержня, $x_c$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой для определения координаты центра масс системы тел. Стержень можно рассматривать как систему из двух однородных частей: свинцовой и железной. Центр тяжести каждой однородной части совпадает с её геометрическим центром.

Выберем систему координат. Пусть ось $Ox$ проходит вдоль стержня, а начало координат ($x=0$) находится в точке соединения свинцовой и железной частей. Так как свинец плотнее железа, расположим свинцовую часть на отрицательной полуоси, а железную — на положительной.

Координаты свинцовой части: от $-0.5$ м до $\text{0}$ м. Её центр масс $x_{св}$ находится посередине этого отрезка:
$x_{св} = -0.25$ м.

Координаты железной части: от $\text{0}$ м до $0.5$ м. Её центр масс $x_{жел}$ находится посередине этого отрезка:
$x_{жел} = 0.25$ м.

Массы частей можно выразить через их плотности и объёмы. Объём каждой части равен $V = S \cdot l$.
Масса свинцовой части: $m_{св} = \rho_{св} \cdot V_{св} = \rho_{св} \cdot S \cdot l_{св}$.
Масса железной части: $m_{жел} = \rho_{жел} \cdot V_{жел} = \rho_{жел} \cdot S \cdot l_{жел}$.

Используем табличные значения плотностей: плотность свинца $\rho_{св} \approx 11300$ кг/м³, плотность железа $\rho_{жел} \approx 7800$ кг/м³.

Координата общего центра тяжести стержня $x_c$ находится по формуле:

$x_c = \frac{m_{св} x_{св} + m_{жел} x_{жел}}{m_{св} + m_{жел}}$

Подставим выражения для масс:

$x_c = \frac{(\rho_{св} S l_{св}) x_{св} + (\rho_{жел} S l_{жел}) x_{жел}}{\rho_{св} S l_{св} + \rho_{жел} S l_{жел}}$

Так как длины частей одинаковы ($l_{св} = l_{жел} = l$) и сечение $\text{S}$ постоянно, эти величины можно сократить:

$x_c = \frac{S \cdot l \cdot (\rho_{св} x_{св} + \rho_{жел} x_{жел})}{S \cdot l \cdot (\rho_{св} + \rho_{жел})} = \frac{\rho_{св} x_{св} + \rho_{жел} x_{жел}}{\rho_{св} + \rho_{жел}}$

Подставим числовые значения:

$x_c = \frac{11300 \cdot (-0.25) + 7800 \cdot 0.25}{11300 + 7800} = \frac{0.25 \cdot (7800 - 11300)}{19100} = \frac{0.25 \cdot (-3500)}{19100} = \frac{-875}{19100} \approx -0.0458$ м.

Результат $x_c \approx -0.046$ м или $-4.6$ см. Знак «минус» означает, что центр тяжести смещён от точки соединения в сторону свинцовой части (в отрицательном направлении оси $Ox$), что логично, так как свинец плотнее железа.

Ответ:

Центр тяжести стержня находится на расстоянии примерно 4.6 см от места соединения его свинцовой и железной частей, внутри свинцовой части.