Номер 21, страница 223, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 23. Центр тяжести. Виды равновесия - номер 21, страница 223.

Условие.

21. По лёгкой лестнице длиной $\text{l}$, прислонённой к гладкой стене, поднимается рабочий. Коэффициент трения между лестницей и полом равен $\mu$, а лестница установлена под углом $\alpha$ к стене.

а) При каком соотношении между заданными в условии величинами рабочий может безопасно подняться до самого верха лестницы?

б) До какой высоты от пола рабочий может безопасно подняться, если упомянутое выше соотношение не выполнено?

Решение 2.

Дано:

Длина лестницы: $\text{l}$
Коэффициент трения между лестницей и полом: $\mu$
Угол между лестницей и стеной: $\alpha$
Стена гладкая, лестница легкая (ее массой пренебрегаем).
Масса рабочего: $\text{m}$

Найти:

а) Соотношение между величинами, при котором рабочий может подняться до самого верха.
б) Максимальную высоту подъема $h_{max}$, если соотношение из пункта (а) не выполнено.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на лестницу. Пусть лестница опирается на пол в точке А и на стену в точке В.

• $mg$ – сила тяжести рабочего, приложенная в точке на лестнице, где находится рабочий.
• $N_1$ – сила нормальной реакции со стороны пола, направленная вертикально вверх.
• $N_2$ – сила нормальной реакции со стороны стены, направленная горизонтально от стены.
• $F_{тр}$ – сила трения покоя со стороны пола, направленная горизонтально к стене и препятствующая скольжению.

Поскольку стена гладкая, силой трения между лестницей и стеной пренебрегаем. Поскольку лестница легкая, ее весом пренебрегаем.
Условия равновесия системы:

1. Сумма всех сил, действующих на лестницу, равна нулю (равновесие поступательного движения).
В проекциях на оси:
Ось Y (вертикальная): $N_1 - mg = 0 \implies N_1 = mg$
Ось X (горизонтальная): $N_2 - F_{тр} = 0 \implies N_2 = F_{тр}$

2. Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю (равновесие вращательного движения). Выберем точку А (основание лестницы) в качестве оси вращения. Моменты сил $N_1$ и $F_{тр}$ относительно этой точки равны нулю.

Лестница не будет скользить, пока сила трения покоя не превышает своего максимального значения: $F_{тр} \le \mu N_1$.
С учетом $N_1 = mg$ и $N_2 = F_{тр}$, получаем: $N_2 \le \mu mg$. Это общее условие для отсутствия проскальзывания.

а) При каком соотношении между заданными в условии величинами рабочий может безопасно подняться до самого верха лестницы?

Рабочий находится на самом верху лестницы, в точке В. Сила тяжести $mg$ приложена на расстоянии $\text{l}$ от точки А.
Запишем уравнение моментов сил относительно точки А.
Момент силы тяжести $mg$ создает вращение по часовой стрелке (принято считать отрицательным). Плечо этой силы равно горизонтальному расстоянию от А до В, то есть $l \sin\alpha$.
$M_{mg} = -mg \cdot l \sin\alpha$
Момент силы реакции стены $N_2$ создает вращение против часовой стрелки (положительное). Плечо этой силы равно вертикальному расстоянию от А до В, то есть $l \cos\alpha$.
$M_{N_2} = N_2 \cdot l \cos\alpha$
Сумма моментов равна нулю:
$N_2 \cdot l \cos\alpha - mg \cdot l \sin\alpha = 0$
$N_2 \cdot l \cos\alpha = mg \cdot l \sin\alpha$
$N_2 = mg \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = mg \tan\alpha$
Теперь подставим это значение $N_2$ в условие отсутствия скольжения $N_2 \le \mu mg$:
$mg \tan\alpha \le \mu mg$
Разделив обе части на $mg$ (положительная величина), получим искомое соотношение:
$\tan\alpha \le \mu$

Ответ: Рабочий может безопасно подняться до самого верха лестницы, если выполняется условие $\tan\alpha \le \mu$.

б) До какой высоты от пола рабочий может безопасно подняться, если упомянутое выше соотношение не выполнено?

Если соотношение не выполнено, то есть $\tan\alpha > \mu$, то при подъеме на самый верх лестница соскользнет. Найдем предельную высоту подъема.
Пусть рабочий поднялся на расстояние $\text{x}$ вдоль лестницы от точки А. Лестница находится в предельном состоянии равновесия, то есть сила трения достигла своего максимального значения: $F_{тр} = \mu N_1 = \mu mg$.
Так как $N_2 = F_{тр}$, то $N_2 = \mu mg$.
Теперь снова запишем уравнение моментов сил относительно точки А, но на этот раз сила тяжести $mg$ рабочего приложена на расстоянии $\text{x}$ от точки А.
Плечо силы $mg$ равно $x \sin\alpha$.
Плечо силы $N_2$ равно $l \cos\alpha$.
Уравнение моментов:
$N_2 \cdot l \cos\alpha - mg \cdot x \sin\alpha = 0$
Подставим в это уравнение значение $N_2 = \mu mg$:
$(\mu mg) \cdot l \cos\alpha - mg \cdot x \sin\alpha = 0$
Сократим на $mg$:
$\mu l \cos\alpha - x \sin\alpha = 0$
Выразим максимальное расстояние $\text{x}$ вдоль лестницы:
$x = \frac{\mu l \cos\alpha}{\sin\alpha} = \mu l \cot\alpha$
Нам нужно найти максимальную высоту подъема $h_{max}$. Высота $\text{h}$ связана с расстоянием $\text{x}$ соотношением $h = x \cos\alpha$.
Подставим найденное значение $\text{x}$:
$h_{max} = (\mu l \cot\alpha) \cos\alpha = \mu l \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cos\alpha = \mu l \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}$

Ответ: $h_{max} = \mu l \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}$.