Номер 5, страница 225, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 24. Равновесие жидкости и газа - номер 5, страница 225.

Условие.

5. В U-образную трубку налита вода. В правое колено трубки налили керосин, а в левое долили воду так, что уровень воды в правом колене остался на начальном уровне. Какую массу воды долили в левое колено трубки, если высота столба керосина равна $25 \text{ см}$, а площадь поперечного сечения каждого колена трубки равна $2 \text{ см}^2$?

Решение 2.

Дано:

$h_к = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

$S = 2 \text{ см}^2 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Плотность воды $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность керосина $\rho_к = 800 \text{ кг/м}^3$

Найти:

$m_{в.д}$ - массу долитой воды.

Решение:

Задача решается с использованием закона о сообщающихся сосудах, согласно которому давление на одном и том же горизонтальном уровне в покоящейся однородной жидкости одинаково.

Выберем за уровень отсчета начальный уровень воды в трубке. По условию задачи, после добавления керосина в правое колено и воды в левое колено, уровень воды в правом колене остался на начальном уровне. Это означает, что граница раздела между водой и керосином в правом колене находится на выбранном нами уровне отсчета.

Давление $p_1$ на этом уровне в правом колене создается столбом керосина высотой $h_к$. Без учета атмосферного давления (так как оно действует на оба колена одинаково) оно равно:

$p_1 = \rho_к g h_к$

Давление $p_2$ на этом же уровне в левом колене создается столбом воды, который находится выше этого уровня. Обозначим высоту этого столба воды как $h_{в.изб}$.

$p_2 = \rho_в g h_{в.изб}$

Поскольку давления на одном уровне должны быть равны, приравниваем $p_1$ и $p_2$:

$\rho_к g h_к = \rho_в g h_{в.изб}$

Отсюда можем найти высоту избыточного столба воды в левом колене:

$h_{в.изб} = \frac{\rho_к}{\rho_в} h_к$

Масса воды, которую долили в левое колено ($m_{в.д}$), равна произведению плотности воды на объем долитой воды ($V_{в.д}$). Объем долитой воды привел к тому, что уровень в левом колене поднялся на высоту $h_{в.изб}$ относительно начального уровня. Таким образом, объем долитой воды равен:

$V_{в.д} = S \cdot h_{в.изб}$

Тогда масса долитой воды:

$m_{в.д} = \rho_в \cdot V_{в.д} = \rho_в \cdot S \cdot h_{в.изб}$

Подставим выражение для $h_{в.изб}$ в формулу для массы:

$m_{в.д} = \rho_в \cdot S \cdot \left(\frac{\rho_к}{\rho_в} h_к\right) = \rho_к S h_к$

Из этого следует, что масса долитой воды равна массе налитого керосина. Подставим числовые значения:

$m_{в.д} = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot (2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2) \cdot 0.25 \text{ м} = 0.04 \text{ кг}$

Переведем массу в граммы: $0.04 \text{ кг} = 40 \text{ г}$.

Ответ: масса долитой воды равна 40 г.