Номер 12, страница 228, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 24. Равновесие жидкости и газа - номер 12, страница 228.

Условие.

12. Когда деревянный брусок перенесли из сосуда с водой в сосуд с керосином, объём погружённой части бруска увеличился на 25 см³.

а) Выразите объём погружённой в воду части бруска через объём бруска и плотности бруска и воды.

б) Выразите объём погружённой в керосин части бруска через объём бруска и плотности бруска и керосина.

в) Используя полученные выражения, а также соотношение, связывающее массу бруска с его объёмом и плотностью, выразите массу бруска через заданные в условии величины и плотности жидкостей.

г) Найдите, чему равна масса бруска.

Решение 2.

а) Когда деревянный брусок плавает в воде, действующая на него сила Архимеда $F_{Арх.в}$ уравновешивает силу тяжести $F_т$. Условие плавания тела: $F_{Арх.в} = F_т$.
Сила Архимеда определяется как $F_{Арх.в} = \rho_в g V_{п.в}$, где $\rho_в$ – плотность воды, $\text{g}$ – ускорение свободного падения, $V_{п.в}$ – объём погружённой в воду части бруска.
Сила тяжести равна $F_т = m_б g$, где $m_б$ – масса бруска. Массу бруска можно выразить через его плотность $\rho_б$ и объём $V_б$: $m_б = \rho_б V_б$.
Приравнивая силы, получаем: $\rho_в g V_{п.в} = \rho_б V_б g$.
Сократив $\text{g}$, выразим объём погружённой части: $V_{п.в} = V_б \frac{\rho_б}{\rho_в}$.

Ответ: $V_{п.в} = V_б \frac{\rho_б}{\rho_в}$

б) Аналогично, когда брусок плавает в керосине, сила Архимеда $F_{Арх.к}$ равна силе тяжести $F_т$.
$F_{Арх.к} = \rho_к g V_{п.к}$, где $\rho_к$ – плотность керосина, а $V_{п.к}$ – объём погружённой в керосин части бруска.
Условие плавания: $\rho_к g V_{п.к} = m_б g = \rho_б V_б g$.
Сократив $\text{g}$, выразим объём погружённой части в керосине: $V_{п.к} = V_б \frac{\rho_б}{\rho_к}$.

Ответ: $V_{п.к} = V_б \frac{\rho_б}{\rho_к}$

в) Из условия плавания тела в воде и керосине мы можем выразить массу бруска $m_б$ двумя способами:
1. Из плавания в воде: $m_б g = \rho_в g V_{п.в} \Rightarrow m_б = \rho_в V_{п.в}$.
2. Из плавания в керосине: $m_б g = \rho_к g V_{п.к} \Rightarrow m_б = \rho_к V_{п.к}$.
Отсюда выразим объёмы погружённых частей через массу бруска:
$V_{п.в} = \frac{m_б}{\rho_в}$ и $V_{п.к} = \frac{m_б}{\rho_к}$.
По условию задачи, объём погружённой части в керосине больше объёма погружённой части в воде на величину $\Delta V$:
$\Delta V = V_{п.к} - V_{п.в}$.
Подставим в это уравнение выражения для объёмов:
$\Delta V = \frac{m_б}{\rho_к} - \frac{m_б}{\rho_в}$.
Вынесем массу бруска $m_б$ за скобки:
$\Delta V = m_б \left( \frac{1}{\rho_к} - \frac{1}{\rho_в} \right)$.
Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:
$\Delta V = m_б \left( \frac{\rho_в - \rho_к}{\rho_к \rho_в} \right)$.
Наконец, выразим массу бруска $m_б$:
$m_б = \Delta V \frac{\rho_в \rho_к}{\rho_в - \rho_к}$.

Ответ: $m_б = \Delta V \frac{\rho_в \rho_к}{\rho_в - \rho_к}$

г) Для нахождения численного значения массы бруска воспользуемся полученной формулой и справочными данными для плотностей жидкостей.

Дано:

$\Delta V = 25 \text{ см}^3$
Плотность воды $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$
Плотность керосина $\rho_к = 800 \text{ кг/м}^3$

$\Delta V = 25 \text{ см}^3 = 25 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 25 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 2.5 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Найти:

$m_б$

Решение:

Используем формулу, выведенную в пункте в):
$m_б = \Delta V \frac{\rho_в \rho_к}{\rho_в - \rho_к}$.
Подставим числовые значения в системе СИ:
$m_б = 2.5 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 \cdot \frac{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = 2.5 \cdot 10^{-5} \cdot \frac{800000}{200} \text{ кг}$.
$m_б = 2.5 \cdot 10^{-5} \cdot 4000 \text{ кг} = 2.5 \cdot 4 \cdot 10^{-5} \cdot 10^3 \text{ кг} = 10 \cdot 10^{-2} \text{ кг} = 0.1 \text{ кг}$.
Массу можно также выразить в граммах: $0.1 \text{ кг} = 100 \text{ г}$.

Ответ: $m_б = 0.1 \text{ кг}$ (или 100 г).