Номер 11, страница 228, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 24. Равновесие жидкости и газа - номер 11, страница 228.

Условие.

11. Однородное (изготовленное из одного вещества) и не содержащее полостей тело плавает в жидкости. Обозначим $V_{\text{погр}}$ — объём погружённой части тела, $\text{V}$ — объём всего тела, $\rho_{\text{т}}$ — плотность вещества, из которого изготовлено тело, $\rho_{\text{ж}}$ — плотность жидкости. Докажите, что

$\frac{V_{\text{погр}}}{V} = \frac{\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{ж}}}.$

Решение 2.

Дано:

$V_{погр}$ — объём погружённой части тела;

$\text{V}$ — объём всего тела;

$\rho_т$ — плотность вещества, из которого изготовлено тело;

$\rho_ж$ — плотность жидкости.

Найти:

Доказать, что $\frac{V_{погр}}{V} = \frac{\rho_т}{\rho_ж}$.

Решение:

По условию, тело плавает в жидкости. Это означает, что оно находится в состоянии равновесия. В этом случае действующие на тело силы скомпенсированы. На тело действуют две силы: сила тяжести ($F_т$), направленная вертикально вниз, и выталкивающая сила (сила Архимеда, $F_А$), направленная вертикально вверх.

Условие равновесия тела в жидкости записывается как равенство модулей этих сил:

$F_т = F_А$

Сила тяжести, действующая на тело, определяется по формуле:

$F_т = m_т g$

где $m_т$ — масса тела, $\text{g}$ — ускорение свободного падения. Массу тела можно выразить через его плотность $\rho_т$ и объём $\text{V}$:

$m_т = \rho_т V$

Тогда сила тяжести равна:

$F_т = \rho_т V g$

Сила Архимеда, действующая на тело, равна весу жидкости, вытесненной телом. Объём вытесненной жидкости равен объёму погружённой части тела $V_{погр}$. Сила Архимеда определяется по формуле:

$F_А = \rho_ж g V_{погр}$

Теперь подставим выражения для сил в условие равновесия:

$\rho_т V g = \rho_ж g V_{погр}$

Сократим обе части уравнения на ускорение свободного падения $\text{g}$:

$\rho_т V = \rho_ж V_{погр}$

Из этого равенства выразим отношение $\frac{V_{погр}}{V}$. Для этого разделим обе части уравнения на $\text{V}$ и на $\rho_ж$:

$\frac{V_{погр}}{V} = \frac{\rho_т}{\rho_ж}$

Таким образом, мы доказали требуемое соотношение.

Ответ: Равенство $\frac{V_{погр}}{V} = \frac{\rho_т}{\rho_ж}$ доказано.