Номер 13, страница 228, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 24. Равновесие жидкости и газа - номер 13, страница 228.

Условие.

13. Однородный брусок плавает на границе раздела жидкостей 1 и 2 (рис. 24.4). Обозначим площадь верхней грани бруска $\text{S}$, плотность бруска $\rho$, объём бруска $\text{V}$, объёмы частей бруска, находящихся в жидкостях 1 и 2, соответственно $V_1$ и $V_2$, а плотности этих жидкостей $\rho_1$ и $\rho_2$.

Рис. 24.4

a) Как направлена равнодействующая сил давления жидкости на часть поверхности бруска, находящуюся в жидкости 1?

б) Чему равен модуль $F_1$ равнодействующей сил давления жидкости на часть поверхности бруска, находящуюся в жидкости 1?

в) Как направлена равнодействующая сил давления жидкости на часть поверхности бруска, находящуюся в жидкости 2?

г) Чему равен модуль $F_2$ равнодействующей сил давления жидкости на часть поверхности бруска, находящуюся в жидкости 2?

д) Чему равен модуль равнодействующей $\text{F}$ сил давления жидкости на все участки поверхности бруска (сила Архимеда)? Выразите $\text{F}$ через $\rho_1$, $\rho_2$, $V_1$ и $V_2$.

е) Докажите, что $\rho_1V_1 + \rho_2V_2 = \rho{V}$.

Полученное вами при решении этой задачи выражение для силы Архимеда, действующей на тело, плавающее на границе раздела двух жидкостей, справедливо для сплошного однородного тела любой формы.

Решение 2.

Дано:

Плотность бруска - $\rho$

Объем бруска - $\text{V}$

Плотность жидкости 1 - $\rho_1$

Плотность жидкости 2 - $\rho_2$

Объем части бруска в жидкости 1 - $V_1$

Объем части бруска в жидкости 2 - $V_2$

Брусок плавает на границе раздела жидкостей.

Найти:

а) Направление равнодействующей силы давления жидкости 1.

б) Модуль равнодействующей силы $F_1$ от жидкости 1.

в) Направление равнодействующей силы давления жидкости 2.

г) Модуль равнодействующей силы $F_2$ от жидкости 2.

д) Модуль полной равнодействующей силы $\text{F}$ (силы Архимеда) и ее выражение через $\rho_1, \rho_2, V_1, V_2$.

е) Доказать, что $\rho_1V_1 + \rho_2V_2 = \rho V$.

Решение:

а) Равнодействующая сил давления жидкости на поверхность погруженного в нее тела (выталкивающая сила, или сила Архимеда) всегда направлена противоположно силе тяжести, то есть вертикально вверх.

Ответ: Равнодействующая сила давления жидкости 1 на часть поверхности бруска направлена вертикально вверх.

б) Модуль равнодействующей силы давления жидкости 1, обозначаемый $F_1$, равен весу вытесненной жидкости. Объем части бруска, погруженной в жидкость 1, равен $V_1$. Вес этого объема жидкости 1 равен произведению ее плотности $\rho_1$, объема $V_1$ и ускорения свободного падения $\text{g}$.

Ответ: $F_1 = \rho_1 g V_1$.

в) Аналогично пункту а), равнодействующая сил давления жидкости 2 на часть поверхности бруска, находящуюся в этой жидкости, также является выталкивающей силой и направлена вертикально вверх.

Ответ: Равнодействующая сила давления жидкости 2 на часть поверхности бруска направлена вертикально вверх.

г) Модуль равнодействующей силы давления жидкости 2, обозначаемый $F_2$, равен весу вытесненной жидкости 2. Объем части бруска, погруженной в жидкость 2, равен $V_2$.

Ответ: $F_2 = \rho_2 g V_2$.

д) Полная равнодействующая $\text{F}$ сил давления обеих жидкостей на брусок (полная сила Архимеда) является векторной суммой сил $F_1$ и $F_2$. Поскольку обе силы направлены в одну сторону (вертикально вверх), их результирующая сила также направлена вверх, а ее модуль равен сумме их модулей: $F = F_1 + F_2$. Подставив выражения из пунктов б) и г), получим:

$F = \rho_1 g V_1 + \rho_2 g V_2 = g(\rho_1 V_1 + \rho_2 V_2)$

Ответ: $F = g(\rho_1 V_1 + \rho_2 V_2)$.

е) Так как брусок плавает, он находится в состоянии равновесия. Это означает, что сумма всех действующих на него сил равна нулю. На брусок действуют две силы: сила тяжести $F_{тяж}$, направленная вниз, и общая выталкивающая сила (сила Архимеда) $\text{F}$, направленная вверх. Условие равновесия записывается как $F = F_{тяж}$.

Модуль силы тяжести: $F_{тяж} = m \cdot g = \rho V g$, где $m = \rho V$ - масса бруска.

Модуль силы Архимеда (из пункта д)): $F = g(\rho_1 V_1 + \rho_2 V_2)$.

Приравниваем модули этих сил:

$g(\rho_1 V_1 + \rho_2 V_2) = \rho V g$

Сокращаем обе части уравнения на $\text{g}$:

$\rho_1 V_1 + \rho_2 V_2 = \rho V$

Равенство доказано.

Ответ: Доказательство основано на условии равновесия плавающего тела, согласно которому действующая на него сила тяжести уравновешивается суммарной выталкивающей силой со стороны обеих жидкостей.