Номер 6, страница 226, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 24. Равновесие жидкости и газа - номер 6, страница 226.

Условие.

°6. В жидкость плотностью $\rho$ полностью погружён куб с длиной ребра $\text{a}$ (рис. 24.2, а). Верхняя грань куба находится на глубине $\text{h}$. На рисунке показаны силы давления жидкости $\vec{F}_{\uparrow}$ и $\vec{F}_{\downarrow}$, действующие на горизонтальные грани куба ¹⁾.

Рис. 24.2

а) Какая из двух сил, показанных на рисунке 24.2, а, является силой давления жидкости: на верхнюю грань куба; на нижнюю грань куба?

б) Объясните, почему направленная вверх сила давления жидкости на куб больше по модулю, чем сила давления жидкости, направленная вниз.

в) Используя формулу для гидростатического давления, запишите выражения для модулей сил давления жидкости на верхнюю и нижнюю грани куба.

г) Объясните, почему силы давления жидкости на боковые грани куба уравновешивают друг друга (то есть их равнодействующая равна нулю).

д) На рисунке 24.2, б изображена действующая на куб сила Архимеда, то есть равнодействующая сил давления жидкости на все грани куба. Выразите модуль силы Архимеда через модули сил $\vec{F}_{\uparrow}$ и $\vec{F}_{\downarrow}$.

е) Найдите выражение для силы Архимеда, то есть равнодействующей сил давления на все грани куба, и сравните эту силу с весом жидкости в объёме, занятом кубом. Сделайте соответствующий вывод.

Решение 2.

Дано:

Куб с длиной ребра $\text{a}$ полностью погружен в жидкость.

Плотность жидкости: $\rho$

Глубина, на которой находится верхняя грань куба: $\text{h}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Решение

а) Сила давления жидкости всегда направлена перпендикулярно к поверхности, на которую она действует. Жидкость над верхней гранью давит на нее сверху вниз. Жидкость под нижней гранью давит на нее снизу вверх. Таким образом, сила, действующая на верхнюю грань, — это $ \vec{F}_{\downarrow} $, а на нижнюю — $ \vec{F}_{\uparrow} $.

Ответ: Силой давления жидкости на верхнюю грань куба является $ \vec{F}_{\downarrow} $, а на нижнюю грань — $ \vec{F}_{\uparrow} $.

б) Гидростатическое давление в жидкости зависит от глубины и рассчитывается по формуле $ p = \rho g h_{глубина} $, где $ h_{глубина} $ — глубина погружения. Нижняя грань куба находится глубже, чем верхняя. Следовательно, давление жидкости на нижнюю грань больше, чем на верхнюю. Поскольку площади граней одинаковы ($ S = a^2 $), сила давления ($ F = pS $) на нижнюю грань будет больше по модулю, чем сила давления на верхнюю грань.

Ответ: Направленная вверх сила давления жидкости на куб больше по модулю, так как нижняя грань куба находится на большей глубине, где гидростатическое давление выше, чем на глубине расположения верхней грани.

в) Используем формулу для силы гидростатического давления $ F = pS = (\rho g h_{глубина}) S $. Площадь грани куба равна $ S = a^2 $.
Глубина верхней грани равна $ h $. Тогда давление на нее $ p_{\downarrow} = \rho g h $. Модуль силы давления на верхнюю грань:$ F_{\downarrow} = p_{\downarrow} S = \rho g h a^2 $.
Глубина нижней грани равна $ h + a $. Тогда давление на нее $ p_{\uparrow} = \rho g (h+a) $. Модуль силы давления на нижнюю грань:$ F_{\uparrow} = p_{\uparrow} S = \rho g (h+a) a^2 $.

Ответ: Модуль силы давления на верхнюю грань $ F_{\downarrow} = \rho g h a^2 $. Модуль силы давления на нижнюю грань $ F_{\uparrow} = \rho g (h+a) a^2 $.

г) Рассмотрим любую пару противоположных боковых граней. Для каждой точки на одной боковой грани, находящейся на определенной глубине, существует симметричная точка на противоположной грани на той же самой глубине. Гидростатическое давление на этих глубинах одинаково. Силы давления, действующие на элементарные площадки в этих точках, будут равны по модулю и направлены перпендикулярно граням, то есть в противоположные стороны. При суммировании по всей площади боковых граней эти силы полностью компенсируют друг друга. Таким образом, равнодействующая сил давления на боковые грани куба равна нулю.

Ответ: Силы давления на противоположные боковые грани попарно равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому их равнодействующая равна нулю.

д) Сила Архимеда ($ \vec{F}_{A} $) является равнодействующей всех сил давления жидкости, действующих на поверхность тела. Как было показано в пункте г), силы, действующие на боковые грани, взаимно компенсируются. Следовательно, сила Архимеда является векторной суммой сил, действующих на верхнюю и нижнюю грани: $ \vec{F}_{A} = \vec{F}_{\uparrow} + \vec{F}_{\downarrow} $. Так как эти силы направлены в противоположные стороны (вдоль вертикальной оси), модуль силы Архимеда равен разности модулей этих сил:

$ F_{A} = F_{\uparrow} - F_{\downarrow} $.

Ответ: $ F_{A} = F_{\uparrow} - F_{\downarrow} $.

е) Подставим выражения для модулей сил $ F_{\uparrow} $ и $ F_{\downarrow} $ из пункта в) в формулу для силы Архимеда из пункта д):
$ F_{A} = \rho g (h+a) a^2 - \rho g h a^2 = \rho g h a^2 + \rho g a^3 - \rho g h a^2 = \rho g a^3 $.
Объем куба равен $ V = a^3 $. Таким образом, $ F_{A} = \rho g V $.
Найдем вес жидкости в объеме, занимаемом кубом. Масса такой жидкости $ m_{ж} = \rho V = \rho a^3 $. Ее вес $ P_{ж} = m_{ж} g = \rho g a^3 $.
Сравнивая полученные выражения, видим, что $ F_{A} = P_{ж} $.
Вывод: выталкивающая сила (сила Архимеда), действующая на погруженное в жидкость тело, равна весу жидкости в объеме, вытесненном этим телом. Это утверждение является законом Архимеда.

Ответ: Выражение для силы Архимеда $ F_{A} = \rho g a^3 $. Эта сила равна весу жидкости в объеме, занимаемом кубом ($ P_{ж} = \rho g a^3 $), что является формулировкой закона Архимеда.