Номер 14, страница 229, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 24. Равновесие жидкости и газа - номер 14, страница 229.

Условие.

14. Однородный брусок плавает на границе раздела воды и керосина. При этом он погружён в воду на 2 см. Чему равна плотность бруска, если его высота равна 5 см?

Решение 2.

Дано:

$h_в = 2$ см (высота части бруска, погруженной в воду)
$H = 5$ см (полная высота бруска)
Плотность воды, $ρ_в ≈ 1000$ кг/м³
Плотность керосина, $ρ_к ≈ 800$ кг/м³

Перевод в систему СИ:
$h_в = 0.02$ м
$H = 0.05$ м

Найти:

$ρ_б$ - плотность бруска.

Решение:

Так как брусок плавает в двух несмешивающихся жидкостях (вода и керосин), на него действует сила тяжести, направленная вниз, и две выталкивающие силы (силы Архимеда), направленные вверх. По условию плавания тела, сила тяжести уравновешивается суммой выталкивающих сил.

Условие равновесия бруска можно записать в виде:
$F_т = F_{А,в} + F_{А,к}$

где $F_т$ – сила тяжести, действующая на брусок, $F_{А,в}$ – выталкивающая сила со стороны воды, а $F_{А,к}$ – выталкивающая сила со стороны керосина.

Сила тяжести вычисляется по формуле $F_т = m_б g = ρ_б V_б g$, где $ρ_б$ – искомая плотность бруска, $V_б$ – его полный объем, $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Выталкивающие силы определяются как $F_А = ρ_ж g V_{погр}$, где $ρ_ж$ – плотность жидкости, а $V_{погр}$ – объем погруженной в эту жидкость части тела.
$F_{А,в} = ρ_в g V_в$
$F_{А,к} = ρ_к g V_к$
Здесь $V_в$ и $V_к$ – объемы частей бруска, находящихся в воде и керосине соответственно.

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:
$ρ_б V_б g = ρ_в g V_в + ρ_к g V_к$

Можно сократить обе части уравнения на $\text{g}$:
$ρ_б V_б = ρ_в V_в + ρ_к V_к$

Пусть площадь основания бруска равна $\text{S}$. Тогда объемы можно выразить через высоту соответствующих частей:
$V_б = S \cdot H$
$V_в = S \cdot h_в$
Высота части бруска, погруженной в керосин, равна разности общей высоты и высоты, погруженной в воду:
$h_к = H - h_в = 5 \text{ см} - 2 \text{ см} = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
Следовательно, $V_к = S \cdot h_к$.

Подставим выражения для объемов в уравнение:
$ρ_б S H = ρ_в S h_в + ρ_к S h_к$

Сократив на площадь основания $\text{S}$, получим:
$ρ_б H = ρ_в h_в + ρ_к h_к$

Отсюда выразим плотность бруска $ρ_б$:
$ρ_б = \frac{ρ_в h_в + ρ_к h_к}{H}$

Теперь подставим числовые значения:
$ρ_б = \frac{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.02 \text{ м} + 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.03 \text{ м}}{0.05 \text{ м}} = \frac{20 \frac{\text{кг}}{\text{м}^2} + 24 \frac{\text{кг}}{\text{м}^2}}{0.05 \text{ м}} = \frac{44 \frac{\text{кг}}{\text{м}^2}}{0.05 \text{ м}} = 880 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: плотность бруска равна $880$ кг/м³.