Номер 16, страница 229, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 24. Равновесие жидкости и газа - номер 16, страница 229.

Условие.

16. Воздушный шар объёмом $V_1 = 400 \text{ м}^3$ находится в равновесии вблизи поверхности земли, где плотность окружающего воздуха $\rho_1 = 1,28 \text{ кг/м}^3$. После того, как с шара сбросили балласт (мешки с песком), шар поднялся до высоты, на которой плотность окружающего воздуха в 2 раза меньше, чем вблизи поверхности земли. При этом подъёме объём шара увеличился в 1,5 раза.

Рис. 24.5

а) Запишите условие равновесия шара вблизи поверхности земли. Введите обозначения всех необходимых для этого физических величин.

б) Запишите условие равновесия шара после сброса балласта. Введите обозначения всех необходимых для этого физических величин.

в) Выразите массу балласта $\text{m}$ через заданные в условии величины.

г) Чему равна масса балласта?

Решение 2.

Дано:

$V_1 = 400 \text{ м}^3$

$\rho_1 = 1.28 \text{ кг/м}^3$

$\rho_2 = \frac{\rho_1}{2}$

$V_2 = 1.5 V_1$

Найти:

$\text{m}$ - ?

Решение:

а) Условие равновесия воздушного шара вблизи поверхности земли означает, что сумма всех действующих на него сил равна нулю. На шар действуют сила тяжести $F_{тяж1}$, направленная вертикально вниз, и выталкивающая (архимедова) сила $F_{А1}$, направленная вертикально вверх.
Введем обозначения:
$\text{M}$ – масса конструкции шара (оболочка, газ, оборудование);
$\text{m}$ – масса балласта;
$V_1$ – объём шара у поверхности земли;
$\rho_1$ – плотность окружающего воздуха у поверхности земли;
$\text{g}$ – ускорение свободного падения.
Сила тяжести, действующая на шар с балластом, равна $F_{тяж1} = (M+m)g$.
Выталкивающая сила равна $F_{А1} = \rho_1 g V_1$.
Условие равновесия: $F_{А1} = F_{тяж1}$.
Запишем уравнение в развернутом виде: $\rho_1 g V_1 = (M+m)g$.
Ответ: Условие равновесия шара вблизи поверхности земли: $\rho_1 g V_1 = (M+m)g$, где $\rho_1$ – плотность воздуха у поверхности, $V_1$ – объём шара, $\text{M}$ – масса шара без балласта, $\text{m}$ – масса балласта, $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

б) После сброса балласта шар поднимается на высоту, где снова оказывается в равновесии. Условие равновесия на этой высоте также заключается в равенстве силы тяжести и выталкивающей силы. Масса шара теперь равна $\text{M}$.
Введем обозначения для нового состояния:
$V_2$ – объём шара на новой высоте;
$\rho_2$ – плотность окружающего воздуха на новой высоте.
Сила тяжести, действующая на шар, равна $F_{тяж2} = Mg$.
Выталкивающая сила равна $F_{А2} = \rho_2 g V_2$.
Условие равновесия: $F_{А2} = F_{тяж2}$.
Запишем уравнение в развернутом виде: $\rho_2 g V_2 = Mg$.
Ответ: Условие равновесия шара после сброса балласта: $\rho_2 g V_2 = Mg$, где $\rho_2$ – плотность воздуха на высоте, $V_2$ – новый объём шара, $\text{M}$ – масса шара без балласта, $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

в) Для того чтобы выразить массу балласта $\text{m}$, воспользуемся системой из двух уравнений равновесия, полученных в пунктах а) и б), предварительно сократив их на $\text{g}$:
1) $\rho_1 V_1 = M+m$
2) $\rho_2 V_2 = M$
Из первого уравнения выразим массу балласта: $m = \rho_1 V_1 - M$.
Подставим во второе уравнение выражение для массы $\text{M}$: $m = \rho_1 V_1 - \rho_2 V_2$.
Теперь используем соотношения, заданные в условии задачи: $\rho_2 = \rho_1 / 2$ и $V_2 = 1.5 V_1$.
Подставим эти соотношения в полученную формулу для $\text{m}$:
$m = \rho_1 V_1 - (\frac{\rho_1}{2}) \cdot (1.5 V_1) = \rho_1 V_1 - \frac{1.5}{2} \rho_1 V_1 = \rho_1 V_1 - 0.75 \rho_1 V_1 = 0.25 \rho_1 V_1$.
Таким образом, масса балласта выражается через заданные в условии величины.
Ответ: $m = \rho_1 V_1 - \rho_2 V_2 = 0.25 \rho_1 V_1$.

г) Для нахождения численного значения массы балласта подставим данные из условия в формулу, выведенную в пункте в):
$m = 0.25 \cdot \rho_1 \cdot V_1$
$m = 0.25 \cdot 1.28 \text{ кг/м}^3 \cdot 400 \text{ м}^3 = 128 \text{ кг}$.
Ответ: Масса балласта равна 128 кг.