Номер 9, страница 221, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 23. Центр тяжести. Виды равновесия - номер 9, страница 221.

Условие.

9. Один конец горизонтального однородного стержня массой $m = 10 \text{ кг}$ закреплён в шарнире и может вращаться без трения вокруг точки $\text{O}$ (рис. 23.14). Другой конец стержня соединён тросом со стеной. Трос образует угол $\alpha = 30^\circ$ с горизонтом.

Рис. 23.14

а) Чему равна сила $\vec{T}$ натяжения троса?

б) Чему равна сила, действующая со стороны шарнира на стержень?

в) Как направлена сила, действующая со стороны шарнира на стержень?

Решение 2.

Дано:

$m = 10$ кг

$\alpha = 30^\circ$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) Силу натяжения троса $\text{T}$

б) Силу реакции шарнира $F_h$

в) Направление силы реакции шарнира $F_h$

Решение:

На горизонтальный стержень действуют три силы:

1. Сила тяжести $\vec{P} = m\vec{g}$, приложенная к центру масс стержня (его середине).
2. Сила натяжения троса $\vec{T}$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту.
3. Сила реакции опоры $\vec{F_h}$, действующая со стороны шарнира в точке O.

Поскольку стержень находится в статическом равновесии, должны выполняться два условия:

1. Векторная сумма всех приложенных сил равна нулю: $\sum \vec{F} = \vec{T} + m\vec{g} + \vec{F_h} = 0$.
2. Сумма моментов всех сил относительно любой оси равна нулю: $\sum M = 0$.

а) Чему равна сила $\vec{T}$ натяжения троса?

Для нахождения силы натяжения троса $\vec{T}$ воспользуемся правилом моментов. В качестве оси вращения выберем точку O, в которой стержень крепится к шарниру. Момент силы реакции шарнира $\vec{F_h}$ относительно этой точки равен нулю, так как плечо силы равно нулю.

Обозначим длину стержня как $\text{L}$. Сила тяжести $m\vec{g}$ приложена к середине стержня, поэтому её плечо равно $L/2$. Момент этой силы вращает стержень по часовой стрелке (будем считать его отрицательным):

$M_g = -mg \frac{L}{2}$

Сила натяжения троса $\vec{T}$ приложена к правому концу стержня. Её момент создаёт только вертикальная составляющая $T_y = T\sin\alpha$, так как линия действия горизонтальной составляющей проходит через ось вращения. Плечо силы $T_y$ равно $\text{L}$. Момент этой силы вращает стержень против часовой стрелки (будем считать его положительным):

$M_T = (T\sin\alpha)L$

Запишем уравнение равновесия моментов:

$\sum M_O = M_T + M_g = 0$

$(T\sin\alpha)L - mg\frac{L}{2} = 0$

Сократив на $\text{L}$, получим:

$T\sin\alpha = \frac{mg}{2}$

Отсюда выражаем $\text{T}$:

$T = \frac{mg}{2\sin\alpha}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{10 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{2 \cdot \sin30^\circ} = \frac{98 \text{ Н}}{2 \cdot 0.5} = 98 \text{ Н}$

Ответ: Сила натяжения троса равна 98 Н.

б) Чему равна сила, действующая со стороны шарнира на стержень?

Для нахождения силы реакции шарнира $\vec{F_h}$ воспользуемся первым условием равновесия (равенство нулю векторной суммы сил). Разложим силы на горизонтальные (ось OX) и вертикальные (ось OY) составляющие. Направим ось OX горизонтально вправо, а ось OY — вертикально вверх.

Силу $\vec{F_h}$ представим в виде двух компонент: $F_{hx}$ и $F_{hy}$.

Уравнение равновесия сил в проекции на ось OX:

$\sum F_x = F_{hx} - T\cos\alpha = 0 \implies F_{hx} = T\cos\alpha$

$F_{hx} = 98 \text{ Н} \cdot \cos30^\circ = 98 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 49\sqrt{3} \text{ Н} \approx 84.9 \text{ Н}$

Уравнение равновесия сил в проекции на ось OY:

$\sum F_y = F_{hy} + T\sin\alpha - mg = 0 \implies F_{hy} = mg - T\sin\alpha$

$F_{hy} = 10 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 - 98 \text{ Н} \cdot \sin30^\circ = 98 \text{ Н} - 98 \text{ Н} \cdot 0.5 = 98 - 49 = 49 \text{ Н}$

Полную силу реакции шарнира найдем по теореме Пифагора:

$F_h = \sqrt{F_{hx}^2 + F_{hy}^2} = \sqrt{(49\sqrt{3})^2 + 49^2} = \sqrt{49^2 \cdot 3 + 49^2} = \sqrt{49^2(3+1)} = \sqrt{49^2 \cdot 4} = 49 \cdot 2 = 98 \text{ Н}$

Ответ: Сила, действующая со стороны шарнира на стержень, равна 98 Н.

в) Как направлена сила, действующая со стороны шарнира на стержень?

Направление силы $\vec{F_h}$ можно определить по углу $\beta$, который она образует с горизонтальной осью OX. Так как обе компоненты $F_{hx}$ и $F_{hy}$ положительны, сила направлена вверх и вправо.

$\tan\beta = \frac{F_{hy}}{F_{hx}} = \frac{49 \text{ Н}}{49\sqrt{3} \text{ Н}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Отсюда находим угол $\beta$:

$\beta = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ$

Ответ: Сила, действующая со стороны шарнира на стержень, направлена вверх под углом 30° к горизонтали.