Номер 3, страница 217, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 23. Центр тяжести. Виды равновесия - номер 3, страница 217.

Условие.

3. Однородный стержень массой 9 кг и длиной 1 м подвешен в горизонтальном положении на двух вертикально расположенных тросах. Точка крепления первого троса находится на расстоянии 10 см от левого конца стержня, а точка крепления второго — на расстоянии 30 см от правого конца.

а) Изобразите на чертеже все силы, действующие на стержень, а также плечи этих сил относительно центра тяжести стержня.

б) Чему равны плечи этих сил?

в) Чему равны силы натяжения тросов?

Решение 2.

Дано:

Масса стержня, $m = 9$ кг
Длина стержня, $L = 1$ м
Расстояние от левого конца до точки крепления первого троса, $d_1 = 10$ см
Расстояние от правого конца до точки крепления второго троса, $d_2 = 30$ см
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ Н/кг

Перевод в систему СИ:

$d_1 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
$d_2 = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Найти:

а) Изобразить силы и плечи сил.
б) Плечи сил $l_1$, $l_2$ относительно центра тяжести.
в) Силы натяжения тросов $T_1$, $T_2$.

Решение:

а) Изобразите на чертеже все силы, действующие на стержень, а также плечи этих сил относительно центра тяжести стержня.

На стержень действуют три силы:

1. Сила тяжести $F_g = mg$, приложенная к центру тяжести (ЦТ) стержня и направленная вертикально вниз. Так как стержень однородный, его центр тяжести находится посередине, на расстоянии $L/2$ от любого конца.
2. Сила натяжения первого троса $T_1$, приложенная в точке крепления первого троса и направленная вертикально вверх.
3. Сила натяжения второго троса $T_2$, приложенная в точке крепления второго троса и направленная вертикально вверх.

Плечо силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. В данном пункте ось вращения проходит через центр тяжести стержня.

Схематичный чертеж:

Ответ: Чертеж сил и плеч представлен выше.

б) Чему равны плечи этих сил?

Найдем координаты точек приложения сил, приняв левый конец стержня за начало координат (x=0).

Центр тяжести (ЦТ) находится в точке: $x_{ЦТ} = L/2 = 1 \text{ м} / 2 = 0.5 \text{ м}$.

Точка крепления первого троса: $x_1 = d_1 = 0.1 \text{ м}$.

Точка крепления второго троса: $x_2 = L - d_2 = 1 \text{ м} - 0.3 \text{ м} = 0.7 \text{ м}$.

Плечи сил относительно центра тяжести:

Плечо силы $T_1$: $l_1 = |x_{ЦТ} - x_1| = |0.5 \text{ м} - 0.1 \text{ м}| = 0.4 \text{ м}$.

Плечо силы $T_2$: $l_2 = |x_2 - x_{ЦТ}| = |0.7 \text{ м} - 0.5 \text{ м}| = 0.2 \text{ м}$.

Плечо силы тяжести $F_g$ относительно центра тяжести равно нулю, так как сила приложена к самой оси вращения.

Ответ: Плечо силы натяжения первого троса равно 0.4 м, второго - 0.2 м.

в) Чему равны силы натяжения тросов?

Стержень находится в равновесии, следовательно, выполняются два условия равновесия:

1. Равенство нулю суммы всех сил (условие равновесия поступательного движения).

2. Равенство нулю суммы моментов всех сил относительно любой оси (условие равновесия вращательного движения).

Из первого условия равновесия: сумма сил, направленных вверх, равна сумме сил, направленных вниз.

$T_1 + T_2 = F_g = mg$

$T_1 + T_2 = 9 \text{ кг} \times 9.8 \text{ Н/кг} = 88.2 \text{ Н}$

Из второго условия равновесия (правило моментов): выберем ось вращения в точке крепления первого троса (в точке $x_1$), чтобы момент силы $T_1$ был равен нулю. Сумма моментов сил, вращающих стержень по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки.

Момент силы тяжести (вращает по часовой стрелке): $M_g = F_g \times (x_{ЦТ} - x_1) = mg \times l_1 = 88.2 \text{ Н} \times (0.5 \text{ м} - 0.1 \text{ м}) = 88.2 \times 0.4 \text{ Н}\cdot\text{м}$.

Момент силы $T_2$ (вращает против часовой стрелки): $M_2 = T_2 \times (x_2 - x_1) = T_2 \times (0.7 \text{ м} - 0.1 \text{ м}) = T_2 \times 0.6 \text{ Н}\cdot\text{м}$.

Приравниваем моменты:

$M_2 = M_g$

$T_2 \times 0.6 = 88.2 \times 0.4$

$T_2 = \frac{88.2 \times 0.4}{0.6} = \frac{35.28}{0.6} = 58.8 \text{ Н}$

Теперь найдем $T_1$ из первого условия равновесия:

$T_1 = mg - T_2 = 88.2 \text{ Н} - 58.8 \text{ Н} = 29.4 \text{ Н}$

Ответ: Сила натяжения первого троса $T_1 = 29.4$ Н, сила натяжения второго троса $T_2 = 58.8$ Н.