Номер 20, страница 215, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 22. Условия равновесия тела - номер 20, страница 215.

Условие.

20. Система грузов, изображённая на рисунке 22.13, находится в равновесии. Чему равен угол $\alpha$, если $m_1 = 4$ кг, $m_2 = 2$ кг, $m_3 = 5$ кг?

Рис. 22.13

Решение 2.

Дано:

$m_1 = 4$ кг
$m_2 = 2$ кг
$m_3 = 5$ кг
Система находится в равновесии.

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Угол $\alpha$.

Решение:

Рассмотрим точку, к которой прикреплен груз массой $m_3$. Поскольку вся система находится в равновесии, то и эта точка находится в равновесии. На эту точку действуют три силы:

1. Сила тяжести груза $m_3$, направленная вертикально вниз: $\vec{F_3}$. Её модуль равен $F_3 = m_3 g$.

2. Сила натяжения нити $\vec{T_1}$, направленная к левому блоку. Поскольку груз $m_1$ висит на этой же нити и находится в равновесии, модуль силы натяжения равен силе тяжести груза $m_1$: $T_1 = m_1 g$.

3. Сила натяжения нити $\vec{T_2}$, направленная к правому блоку. Аналогично, модуль этой силы равен силе тяжести груза $m_2$: $T_2 = m_2 g$.

Условие равновесия для точки крепления груза $m_3$ заключается в том, что векторная сумма всех действующих на нее сил равна нулю:

$\vec{T_1} + \vec{T_2} + \vec{F_3} = 0$

Это уравнение можно переписать в виде:

$\vec{T_1} + \vec{T_2} = -\vec{F_3}$

Это означает, что равнодействующая сил $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$ должна быть равна по модулю силе $\vec{F_3}$ и направлена в противоположную сторону (то есть вертикально вверх).

Найдем модуль вектора суммы $\vec{R} = \vec{T_1} + \vec{T_2}$. По теореме косинусов для сложения векторов, квадрат модуля равен:

$R^2 = T_1^2 + T_2^2 + 2 T_1 T_2 \cos(\alpha)$

где $\alpha$ - угол между векторами $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$.

Поскольку $R = F_3$, мы можем записать:

$F_3^2 = T_1^2 + T_2^2 + 2 T_1 T_2 \cos(\alpha)$

Подставим модули сил, выраженные через массы:

$(m_3 g)^2 = (m_1 g)^2 + (m_2 g)^2 + 2 (m_1 g)(m_2 g) \cos(\alpha)$

Сократим обе части уравнения на $g^2$:

$m_3^2 = m_1^2 + m_2^2 + 2 m_1 m_2 \cos(\alpha)$

Выразим из этого уравнения $\cos(\alpha)$:

$2 m_1 m_2 \cos(\alpha) = m_3^2 - m_1^2 - m_2^2$

$\cos(\alpha) = \frac{m_3^2 - m_1^2 - m_2^2}{2 m_1 m_2}$

Подставим числовые значения масс:

$\cos(\alpha) = \frac{5^2 - 4^2 - 2^2}{2 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{25 - 16 - 4}{16} = \frac{9 - 4}{16} = \frac{5}{16}$

Теперь найдем сам угол $\alpha$:

$\alpha = \arccos\left(\frac{5}{16}\right)$

Вычислим приближенное значение угла в градусах:

$\frac{5}{16} = 0.3125$

$\alpha = \arccos(0.3125) \approx 71.8^\circ$

Ответ: $\alpha = \arccos\left(\frac{5}{16}\right) \approx 71.8^\circ$.