Номер 22, страница 216, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 22. Условия равновесия тела - номер 22, страница 216.

Условие.

22. Груз массой $\text{m}$ подвешен с помощью стержня и нити, как показано на рисунке 22.14. Трением в шарнире можно пренебречь.

а) Выразите силу натяжения нити через $\text{m}$, $\alpha$ и $\beta$.

б) Какова максимально возможная масса груза, если $\alpha = 30^{\circ}$, $\beta = 120^{\circ}$, а нить выдерживает силу натяжения 100 H?

Рис. 22.14

Решение 2.

a)

Рассмотрим равновесие стержня. Стержень находится в покое, следовательно, сумма моментов всех сил, действующих на него относительно любой точки, равна нулю. В качестве точки, относительно которой будем рассматривать моменты сил (оси вращения), удобно выбрать шарнир, так как момент силы реакции опоры в шарнире будет равен нулю.

На стержень действуют следующие силы, создающие момент относительно шарнира:

1. Сила тяжести груза $F_g = mg$, приложенная к концу стержня и направленная вертикально вниз. Эта сила создает вращающий момент по часовой стрелке.
2. Сила натяжения нити $\text{T}$, приложенная к концу стержня и направленная вдоль нити. Эта сила создает вращающий момент против часовой стрелки.

Пусть длина стержня равна $\text{L}$. Запишем уравнение моментов сил:

$\sum M = 0$

Момент силы тяжести $M_g$ равен произведению силы на ее плечо. Плечо силы $F_g$ — это перпендикулярное расстояние от оси вращения (шарнира) до линии действия силы, которое равно $L \sin(\alpha)$.

$M_g = - F_g \cdot L \sin(\alpha) = -mgL \sin(\alpha)$

(Знак "минус" означает, что момент направлен по часовой стрелке).

Момент силы натяжения нити $M_T$ также равен произведению силы на ее плечо. Угол между стержнем и нитью равен $(\beta - \alpha)$. Плечо силы натяжения $\text{T}$ равно $L \sin(\beta - \alpha)$.

$M_T = T \cdot L \sin(\beta - \alpha)$

(Знак "плюс" означает, что момент направлен против часовой стрелки).

Условие равновесия моментов: $M_T + M_g = 0$.

$T L \sin(\beta - \alpha) - mgL \sin(\alpha) = 0$

Сократим обе части уравнения на $\text{L}$:

$T \sin(\beta - \alpha) = mg \sin(\alpha)$

Выразим силу натяжения нити $\text{T}$:

$T = \frac{mg \sin(\alpha)}{\sin(\beta - \alpha)}$

Ответ: $T = \frac{mg \sin(\alpha)}{\sin(\beta - \alpha)}$

б)

Дано:

$\alpha = 30°$
$\beta = 120°$
$T_{max} = 100$ Н

Все величины уже представлены в системе СИ.

Найти:

$m_{max}$ - ?

Решение:

Используем формулу для силы натяжения нити, полученную в пункте а). Максимальная масса груза $m_{max}$ соответствует максимальной силе натяжения нити $T_{max}$, которую может выдержать нить.

$T_{max} = \frac{m_{max}g \sin(\alpha)}{\sin(\beta - \alpha)}$

Выразим из этой формулы максимальную массу $m_{max}$:

$m_{max} = \frac{T_{max} \sin(\beta - \alpha)}{g \sin(\alpha)}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Подставим известные значения в формулу:

$\sin(\alpha) = \sin(30°) = 0.5$

$\sin(\beta - \alpha) = \sin(120° - 30°) = \sin(90°) = 1$

Проведем вычисления:

$m_{max} = \frac{100 \text{ Н} \cdot 1}{10 \text{ м/с²} \cdot 0.5} = \frac{100}{5} \text{ кг} = 20 \text{ кг}$

Ответ: 20 кг