Номер 21, страница 216, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 22. Условия равновесия тела - номер 21, страница 216.

Условие.

21. Если груша лежит на левой чаше неравноплечих весов, её уравновешивают четыре одинаковых яблока на правой чаше, а если груша лежит на правой чаше этих же весов, то её уравновешивает одно из упомянутых яблок на левой чаше. Чему равны отношение масс груши и яблока и отношение плеч весов? Массой самих весов можно пренебречь.

Решение 2.

Дано:

Неравноплечие весы.

Случай 1: груша на левой чаше, $n_1 = 4$ яблока на правой чаше.

Случай 2: груша на правой чаше, $n_2 = 1$ яблоко на левой чаше.

Найти:

1. Отношение масс груши и яблока: $\frac{m_г}{m_я}$ - ?

2. Отношение плеч весов: $\frac{l_1}{l_2}$ - ?

Решение:

Обозначим массу груши как $m_г$, а массу одного яблока — $m_я$.

Пусть длина левого плеча весов будет $l_1$, а правого — $l_2$.

Условие равновесия рычажных весов заключается в равенстве моментов сил, действующих на плечи: $M_1 = M_2$. Момент силы равен произведению силы тяжести ($F = mg$) на плечо ($\text{l}$). Таким образом, условие равновесия можно записать как $m_1 g l_1 = m_2 g l_2$, или, сократив на ускорение свободного падения $\text{g}$, $m_1 l_1 = m_2 l_2$.

Рассмотрим первый случай, описанный в задаче: груша на левой чаше ($m_1 = m_г$), четыре яблока на правой ($m_2 = 4m_я$). Условие равновесия:

$m_г \cdot l_1 = 4m_я \cdot l_2 \quad (1)$

Рассмотрим второй случай: одно яблоко на левой чаше ($m_1 = m_я$), груша на правой ($m_2 = m_г$). Условие равновесия:

$m_я \cdot l_1 = m_г \cdot l_2 \quad (2)$

Мы получили систему из двух уравнений для нахождения искомых отношений.

Отношение масс груши и яблока

Чтобы найти отношение масс, разделим почленно уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{m_г \cdot l_1}{m_я \cdot l_1} = \frac{4m_я \cdot l_2}{m_г \cdot l_2}$

Сократим длины плеч $l_1$ и $l_2$ в обеих частях уравнения:

$\frac{m_г}{m_я} = \frac{4m_я}{m_г}$

Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$m_г^2 = 4m_я^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей (массы — величины положительные):

$m_г = 2m_я$

Отсюда находим искомое отношение масс:

$\frac{m_г}{m_я} = 2$

Ответ: Отношение массы груши к массе яблока равно 2.

Отношение плеч весов

Для нахождения отношения плеч весов воспользуемся уравнением (2):

$m_я \cdot l_1 = m_г \cdot l_2$

Выразим из этого уравнения отношение плеч $\frac{l_1}{l_2}$:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_г}{m_я}$

Мы уже установили, что отношение масс $\frac{m_г}{m_я} = 2$. Подставим это значение в полученное выражение:

$\frac{l_1}{l_2} = 2$

Ответ: Отношение длины левого плеча к длине правого плеча равно 2.