Номер 18, страница 215, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 22. Условия равновесия тела - номер 18, страница 215.

Условие.

18. Грузы массой 3 кг и 4 кг подвешены на разных концах лёгкого горизонтального стержня длиной 80 см. К середине стержня подвешен груз массой 3 кг. Где находится точка опоры, если стержень находится в равновесии?

Решение 2.

Дано:

$m_1 = 3$ кг (груз на одном конце)

$m_2 = 4$ кг (груз на другом конце)

$m_3 = 3$ кг (груз посередине)

$L = 80$ см

Перевод в систему СИ:

$L = 0.8$ м

Найти:

$\text{x}$ — положение точки опоры.

Решение:

Для того чтобы стержень находился в равновесии, необходимо, чтобы выполнялось правило моментов: сумма моментов сил, вращающих стержень против часовой стрелки, должна быть равна сумме моментов сил, вращающих его по часовой стрелке, относительно точки опоры.

Расположим стержень на координатной оси, приняв за начало отсчета (координата 0) его левый конец, где подвешен груз массой $m_1$. Тогда груз $m_1$ находится в точке 0, груз $m_3$ — в середине стержня, в точке $L/2 = 0.4$ м, а груз $m_2$ — на правом конце, в точке $L = 0.8$ м.

Пусть точка опоры находится на расстоянии $\text{x}$ от левого конца стержня. На стержень действуют три силы тяжести: $F_1 = m_1g$, $F_2 = m_2g$ и $F_3 = m_3g$.

Поскольку на правой части стержня сосредоточена большая масса, интуитивно понятно, что точка опоры должна быть смещена вправо от центра стержня, то есть $x > L/2$. В этом случае грузы с массами $m_1$ и $m_3$ будут создавать моменты, вращающие стержень против часовой стрелки, а груз с массой $m_2$ — по часовой стрелке.

Запишем уравнение моментов относительно точки опоры. Момент силы равен произведению силы на плечо (расстояние от точки опоры до линии действия силы).

Сумма моментов, вращающих против часовой стрелки:

$M_{против} = M_1 + M_3 = F_1 \cdot l_1 + F_3 \cdot l_3 = m_1g \cdot x + m_3g \cdot (x - L/2)$

Момент, вращающий по часовой стрелке:

$M_{по} = M_2 = F_2 \cdot l_2 = m_2g \cdot (L - x)$

Приравняем моменты для условия равновесия:

$m_1g \cdot x + m_3g \cdot (x - L/2) = m_2g \cdot (L - x)$

Сократим ускорение свободного падения $\text{g}$:

$m_1 x + m_3 (x - L/2) = m_2 (L - x)$

Теперь раскроем скобки и решим уравнение относительно $\text{x}$:

$m_1 x + m_3 x - \frac{m_3 L}{2} = m_2 L - m_2 x$

Перенесем все слагаемые с $\text{x}$ в левую часть:

$m_1 x + m_3 x + m_2 x = m_2 L + \frac{m_3 L}{2}$

$x(m_1 + m_2 + m_3) = L(m_2 + \frac{m_3}{2})$

Выразим $\text{x}$:

$x = \frac{L(m_2 + m_3/2)}{m_1 + m_2 + m_3}$

Подставим числовые значения:

$x = \frac{0.8 \cdot (4 + 3/2)}{3 + 4 + 3} = \frac{0.8 \cdot (4 + 1.5)}{10} = \frac{0.8 \cdot 5.5}{10} = \frac{4.4}{10} = 0.44$ м.

Переведем результат в сантиметры: $0.44$ м $= 44$ см.

Таким образом, точка опоры должна располагаться на расстоянии 44 см от конца стержня, к которому подвешен груз массой 3 кг.

Ответ: Точка опоры находится на расстоянии 44 см от конца стержня с грузом 3 кг.