Номер 12, страница 214, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 22. Условия равновесия тела - номер 12, страница 214.

Условие.

12. На рисунке 22.12 изображены силы, действующие на тело, закреплённое на оси $\text{O}$. Ширине одной клетки соответствует расстояние 2 м или сила 1 Н.

а) Перенесите рисунок по клеточкам в тетрадь, укажите на нём плечи сил $\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$, $\vec{F_3}$ относительно точки $\text{O}$ и подпишите, чему равно плечо каждой силы.

б) Чему равны модули сил $\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$, $\vec{F_3}$?

в) Чему равны моменты сил $\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$, $\vec{F_3}$ относительно точки $\text{O}$?

г) Используя правило моментов, определите, будет ли данное тело находиться в равновесии. Если не будет, то как оно начнёт поворачиваться: по часовой стрелке или против неё?

Рис. 22.12

Решение 2.

Дано:

Масштаб расстояния: 1 клетка = $l_0 = 2$ м
Масштаб силы: 1 клетка = $F_0 = 1$ Н
По рисунку определены координаты точек приложения сил и сами векторы сил в единицах сетки (клетках) относительно точки О:
$\vec{r_{1c}} = (2; -1)$, $\vec{F_{1c}} = (0; -3)$
$\vec{r_{2c}} = (4; -2)$, $\vec{F_{2c}} = (-2; -1)$
$\vec{r_{3c}} = (3; 2)$, $\vec{F_{3c}} = (2; 2)$

Перевод в систему СИ:
Радиус-векторы точек приложения сил:
$\vec{r_1} = (2 \cdot l_0; -1 \cdot l_0) = (4; -2)$ м
$\vec{r_2} = (4 \cdot l_0; -2 \cdot l_0) = (8; -4)$ м
$\vec{r_3} = (3 \cdot l_0; 2 \cdot l_0) = (6; 4)$ м
Векторы сил:
$\vec{F_1} = (0 \cdot F_0; -3 \cdot F_0) = (0; -3)$ Н
$\vec{F_2} = (-2 \cdot F_0; -1 \cdot F_0) = (-2; -1)$ Н
$\vec{F_3} = (2 \cdot F_0; 2 \cdot F_0) = (2; 2)$ Н

Найти:

а) Плечи сил $d_1, d_2, d_3$
б) Модули сил $F_1, F_2, F_3$
в) Моменты сил $M_1, M_2, M_3$
г) Будет ли тело в равновесии и как оно начнёт поворачиваться?

Решение:

а) Плечо силы $\text{d}$ — это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Его можно найти по формуле $d = \frac{|M|}{|F|}$, где $\text{M}$ — момент силы, а $\text{F}$ — модуль силы.

Для силы $\vec{F_1}$: Линия действия силы — вертикальная прямая, проходящая через точку с координатой $x=4$ м. Расстояние от оси вращения O(0;0) до этой прямой равно 4 м.

$d_1 = 4$ м.

Для силы $\vec{F_2}$: Модуль силы $F_2 = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$ Н. Момент силы (z-компонента векторного произведения $\vec{M_2} = \vec{r_2} \times \vec{F_2}$): $M_2 = x_2 F_{2y} - y_2 F_{2x} = 8 \cdot (-1) - (-4) \cdot (-2) = -8 - 8 = -16 \text{ Н} \cdot \text{м}$.

Плечо $d_2 = \frac{|M_2|}{F_2} = \frac{|-16|}{\sqrt{5}} = \frac{16}{\sqrt{5}}$ м.

Для силы $\vec{F_3}$: Модуль силы $F_3 = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ Н. Момент силы $M_3 = x_3 F_{3y} - y_3 F_{3x} = 6 \cdot 2 - 4 \cdot 2 = 12 - 8 = 4 \text{ Н} \cdot \text{м}$.

Плечо $d_3 = \frac{|M_3|}{F_3} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ м.

Ответ: Плечо силы $F_1$ равно $d_1 = 4 \text{ м}$; плечо силы $F_2$ равно $d_2 = \frac{16}{\sqrt{5}} \text{ м} \approx 7,16 \text{ м}$; плечо силы $F_3$ равно $d_3 = \sqrt{2} \text{ м} \approx 1,41 \text{ м}$.

б) Модули сил мы уже вычислили в предыдущем пункте:

Модуль силы $F_1$: $F_1 = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3$ Н.

Модуль силы $F_2$: $F_2 = \sqrt{5} \text{ Н} \approx 2,24$ Н.

Модуль силы $F_3$: $F_3 = 2\sqrt{2} \text{ Н} \approx 2,83$ Н.

Ответ: $F_1 = 3 \text{ Н}$, $F_2 = \sqrt{5} \text{ Н}$, $F_3 = 2\sqrt{2} \text{ Н}$.

в) Моменты сил относительно точки O также были вычислены в пункте а). Принято считать момент положительным, если он вызывает вращение против часовой стрелки, и отрицательным — по часовой стрелке.

Момент силы $M_1$: $M_1 = -F_1 d_1 = -3 \text{ Н} \cdot 4 \text{ м} = -12 \text{ Н} \cdot \text{м}$.

Момент силы $M_2$: $M_2 = -F_2 d_2 = -\sqrt{5} \text{ Н} \cdot \frac{16}{\sqrt{5}} \text{ м} = -16 \text{ Н} \cdot \text{м}$.

Момент силы $M_3$: $M_3 = +F_3 d_3 = 2\sqrt{2} \text{ Н} \cdot \sqrt{2} \text{ м} = 4 \text{ Н} \cdot \text{м}$.

Ответ: $M_1 = -12 \text{ Н} \cdot \text{м}$ (по часовой стрелке), $M_2 = -16 \text{ Н} \cdot \text{м}$ (по часовой стрелке), $M_3 = 4 \text{ Н} \cdot \text{м}$ (против часовой стрелки).

г) Согласно правилу моментов, тело находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на него, равна нулю.

Найдем суммарный момент сил: $M_{общ} = M_1 + M_2 + M_3 = -12 + (-16) + 4 = -24 \text{ Н} \cdot \text{м}$.

Так как $M_{общ} \neq 0$, тело не находится в равновесии. Знак суммарного момента отрицательный, что соответствует вращению по часовой стрелке.

Ответ: Тело не находится в равновесии и начнёт поворачиваться по часовой стрелке.