Номер 9, страница 213, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 22. Условия равновесия тела - номер 9, страница 213.

Условие.

При решении задач с использованием второго условия равновесия ось, относительно которой записывают правило моментов, удобно проводить через точку приложения силы, модуль и направление которой неизвестны: тогда момент этой силы равен нулю. Рассмотрим пример.

9. Нижний конец лёгкого стержня закреплён в шарнире и может вращаться без трения вокруг точки $\text{O}$ (рис. 22.10). Верхний конец стержня соединён тросом со стеной. Трос расположен горизонтально. К середине стержня подвешен груз массой $\text{m}$. Трением в шарнире можно пренебречь. Угол между стержнем и вертикалью равен $\alpha$. Система находится в равновесии.

Рис. 22.10

а) Относительно какой оси удобно в данном случае записать правило моментов для стержня?

б) Изобразите на чертеже силы, действующие на стержень, кроме тех, которые приложены в точке $\text{O}$. Силу натяжения троса обозначьте $\vec{T}$.

в) Запишите правило моментов относительно точки $\text{O}$. Длину стержня обозначьте $\text{L}$.

г) Выразите $\text{T}$ через величины, заданные в условии.

д) Выразите модуль силы, действующей со стороны шарнира на стержень, через величины, заданные в условии.

е) Постройте графически на чертеже силу, действующую со стороны шарнира на стержень. Направлена ли эта сила вдоль стержня?

Решение 2.

Дано:

Масса груза: $\text{m}$

Угол между стержнем и вертикалью: $\alpha$

Длина стержня: $\text{L}$

Стержень находится в равновесии.

Стержень лёгкий (его массой можно пренебречь).

Трение в шарнире отсутствует.

Найти:

а) Удобную ось для записи правила моментов.

б) Изобразить силы, действующие на стержень.

в) Записать правило моментов относительно точки О.

г) Выразить силу натяжения троса $\text{T}$.

д) Выразить модуль силы реакции шарнира $F_ш$.

е) Построить графически силу реакции шарнира и определить её направление.

Решение:

а) Правило моментов удобно записывать относительно оси, проходящей через точку приложения силы, модуль и направление которой неизвестны. В данной задаче такой силой является сила реакции шарнира $\vec{F}_{ш}$, приложенная в точке О. Если выбрать ось вращения, проходящую через точку О перпендикулярно плоскости рисунка, то плечо силы реакции шарнира будет равно нулю, и, следовательно, момент этой силы также будет равен нулю. Это упрощает уравнение моментов.

Ответ: Удобно записать правило моментов относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка.

б) На стержень, помимо силы реакции в шарнире, действуют две силы:
1. Сила тяжести груза $\vec{P} = m\vec{g}$, приложенная к середине стержня и направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения троса $\vec{T}$, приложенная к верхнему концу стержня и направленная горизонтально влево (вдоль троса).

Ответ: На чертеже должны быть изображены сила тяжести $m\vec{g}$, приложенная к середине стержня и направленная вниз, и сила натяжения троса $\vec{T}$, приложенная к верхнему концу стержня и направленная горизонтально влево.

в) Согласно второму условию равновесия, алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно любой оси равна нулю. Запишем уравнение моментов относительно точки О. Моменты сил, вращающих стержень против часовой стрелки, будем считать положительными, а по часовой стрелке — отрицательными.
Момент силы натяжения троса $\vec{T}$: $M_T = T \cdot l_T$. Плечо этой силы $l_T$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы $\vec{T}$. Из геометрии рисунка $l_T = L \cos\alpha$. Сила $\vec{T}$ вращает стержень против часовой стрелки, поэтому $M_T > 0$.$M_T = T \cdot L \cos\alpha$.
Момент силы тяжести груза $m\vec{g}$: $M_{mg} = mg \cdot l_{mg}$. Плечо этой силы $l_{mg}$ равно длине перпендикуляра из точки О на линию действия силы $m\vec{g}$. Груз подвешен к середине стержня, поэтому $l_{mg} = \frac{L}{2} \sin\alpha$. Сила $m\vec{g}$ вращает стержень по часовой стрелке, поэтому $M_{mg} < 0$.$M_{mg} = -mg \cdot \frac{L}{2} \sin\alpha$.
Сумма моментов равна нулю: $\sum M_O = M_T + M_{mg} = 0$.
$T \cdot L \cos\alpha - mg \frac{L}{2} \sin\alpha = 0$.

Ответ: Правило моментов относительно точки О: $T L \cos\alpha - mg \frac{L}{2} \sin\alpha = 0$.

г) Выразим силу натяжения $\text{T}$ из уравнения моментов, полученного в пункте (в):
$T L \cos\alpha = mg \frac{L}{2} \sin\alpha$
Сократим на $\text{L}$:
$T \cos\alpha = \frac{mg}{2} \sin\alpha$
$T = \frac{mg}{2} \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1}{2} mg \tan\alpha$.

Ответ: $T = \frac{1}{2} mg \tan\alpha$.

д) Для нахождения силы, действующей со стороны шарнира на стержень ($\vec{F}_ш$), воспользуемся первым условием равновесия: векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю.
$\vec{F}_ш + \vec{T} + m\vec{g} = 0$.
Введём систему координат: ось Оx направим горизонтально вправо, ось Оy — вертикально вверх. Запишем уравнение в проекциях на оси:
На ось Оx: $F_{шx} - T = 0 \Rightarrow F_{шx} = T = \frac{1}{2} mg \tan\alpha$.
На ось Оy: $F_{шy} - mg = 0 \Rightarrow F_{шy} = mg$.
Модуль силы реакции шарнира найдём по теореме Пифагора:
$F_ш = \sqrt{F_{шx}^2 + F_{шy}^2} = \sqrt{(\frac{1}{2} mg \tan\alpha)^2 + (mg)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} m^2 g^2 \tan^2\alpha + m^2 g^2} = mg \sqrt{\frac{1}{4}\tan^2\alpha + 1}$.

Ответ: $F_ш = mg \sqrt{\frac{1}{4}\tan^2\alpha + 1}$.

е) Графически силу реакции шарнира $\vec{F}_ш$ можно построить, исходя из условия $\vec{F}_ш = -(\vec{T} + m\vec{g})$. Это вектор, замыкающий силовой треугольник, образованный векторами $\vec{T}$ и $m\vec{g}$. Он направлен из точки О вверх и вправо.
Проверим, направлена ли эта сила вдоль стержня. Направление силы $\vec{F}_ш$ определяется углом $\beta$ с вертикалью. Тангенс этого угла равен отношению горизонтальной проекции силы к вертикальной:
$\tan\beta = \frac{F_{шx}}{F_{шy}} = \frac{\frac{1}{2} mg \tan\alpha}{mg} = \frac{1}{2} \tan\alpha$.
Стержень направлен под углом $\alpha$ к вертикали. Так как $\tan\beta = \frac{1}{2} \tan\alpha$, то $\beta \neq \alpha$ (при $\alpha \neq 0$). Следовательно, сила реакции шарнира не направлена вдоль стержня.

Ответ: Сила, действующая со стороны шарнира на стержень, направлена вверх и вправо под углом $\beta$ к вертикали, где $\tan\beta = \frac{1}{2} \tan\alpha$. Эта сила не направлена вдоль стержня.