Номер 2, страница 209, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 22. Условия равновесия тела - номер 2, страница 209.

Условие.

Похожая задача

2. Фонарь массой 4 кг подвешен на тросах, как показано на рисунке 22.3. Трос 1 расположен горизонтально, $α = 30^{\circ}$.

а) Запишите первое условие равновесия для узла А в проекциях на оси координат, которые использовались при рассмотрении предыдущей ситуации.

б) Найдите модули сил натяжения тросов.

2. Условие равновесия тела,

Рис. 22.3

Решение 2.

Дано:

$m = 4$ кг

$\alpha = 30°$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$.

Данные величины даны в системе СИ.

Найти:

а) Уравнения первого условия равновесия для узла А в проекциях на оси координат.

б) Модули сил натяжения тросов $T_1, T_2, T_3$.

Решение:

Рассмотрим узел A, в котором сходятся три троса. На этот узел действуют три силы: сила натяжения горизонтального троса $\vec{T_1}$, направленная влево; сила натяжения наклонного троса $\vec{T_2}$, направленная вверх и вправо под углом $\frac{\alpha}{2}$ к вертикали; и сила натяжения вертикального троса $\vec{T_3}$, равная по модулю весу фонаря $P=mg$ и направленная вертикально вниз.

Поскольку фонарь находится в равновесии, согласно первому закону Ньютона (первое условие равновесия), векторная сумма всех сил, приложенных к узлу А, равна нулю:

$\vec{T_1} + \vec{T_2} + \vec{T_3} = \vec{0}$

а) Запишите первое условие равновесия для узла А в проекциях на оси координат, которые использовались при рассмотрении предыдущей ситуации.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A. Ось Oх направим горизонтально вправо, а ось Oу — вертикально вверх. Запишем проекции сил на эти оси.

Уравнение в проекциях на ось Oх:

$T_{2x} + T_{1x} + T_{3x} = 0$

Проекция силы $\vec{T_1}$ на ось Ох: $T_{1x} = -T_1$.

Проекция силы $\vec{T_2}$ на ось Ох: $T_{2x} = T_2 \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Проекция силы $\vec{T_3}$ на ось Ох: $T_{3x} = 0$.

Получаем уравнение: $T_2 \sin(\frac{\alpha}{2}) - T_1 = 0$.

Уравнение в проекциях на ось Oу:

$T_{2y} + T_{1y} + T_{3y} = 0$

Проекция силы $\vec{T_1}$ на ось Оу: $T_{1y} = 0$.

Проекция силы $\vec{T_2}$ на ось Оу: $T_{2y} = T_2 \cos(\frac{\alpha}{2})$.

Проекция силы $\vec{T_3}$ на ось Оу: $T_{3y} = -T_3$.

Получаем уравнение: $T_2 \cos(\frac{\alpha}{2}) - T_3 = 0$.

Ответ: Условия равновесия для узла А в проекциях на горизонтальную (Ох) и вертикальную (Оу) оси имеют вид: $T_2 \sin(\frac{\alpha}{2}) - T_1 = 0$ и $T_2 \cos(\frac{\alpha}{2}) - T_3 = 0$.

б) Найдите модули сил натяжения тросов.

1. Модуль силы натяжения троса 3 равен весу фонаря:

$T_3 = P = m \cdot g = 4 \text{ кг} \cdot 10 \frac{м}{с^2} = 40$ Н.

2. Из уравнения для проекций на ось Oу найдем модуль силы натяжения троса 2:

$T_2 \cos(\frac{\alpha}{2}) - T_3 = 0 \implies T_2 = \frac{T_3}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Подставим числовые значения. Угол $\frac{\alpha}{2} = \frac{30°}{2} = 15°$.

$T_2 = \frac{40 \text{ Н}}{\cos(15°)} \approx \frac{40 \text{ Н}}{0.966} \approx 41.4$ Н.

3. Из уравнения для проекций на ось Oх найдем модуль силы натяжения троса 1:

$T_2 \sin(\frac{\alpha}{2}) - T_1 = 0 \implies T_1 = T_2 \sin(\frac{\alpha}{2})$

Подставив выражение для $T_2$ из предыдущего пункта, получим:

$T_1 = \frac{T_3}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) = T_3 \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})$

$T_1 = 40 \text{ Н} \cdot \tan(15°) \approx 40 \text{ Н} \cdot 0.268 \approx 10.7$ Н.

Ответ: Модули сил натяжения тросов: $T_1 \approx 10.7$ Н, $T_2 \approx 41.4$ Н, $T_3 = 40$ Н.