Номер 1, страница 208, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 22. Условия равновесия тела - номер 1, страница 208.

Условие.

1. Подвешенный на трёх лёгких тросах груз массой $\text{m}$ покоится (рис. 22.1). Массой узла А, связывающего тросы, можно пренебречь.

а) На рисунке 22.2 обозначены силы, действующие на связывающий тросы узел А. Запишите первое условие равновесия для узла А в векторном виде.

б) Запишите первое условие равновесия для узла А в проекциях на оси координат, показанные на рисунке 22.2.

в) Выразите модули сил натяжения тросов 1 и 2 через заданные в условии и на рисунке 22.1 величины и найдите их значения.

г) При каком значении угла $\alpha$ модули сил натяжения всех трёх тросов равны?

Решение 2.

Дано:

Масса груза: $\text{m}$

Угол, образованный тросами 1 и 2 с вертикалью: $\alpha$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Система находится в равновесии.

Найти:

а) Первое условие равновесия для узла А в векторном виде.

б) Первое условие равновесия для узла А в проекциях на оси координат.

в) Модули сил натяжения $T_1$ и $T_2$.

г) Угол $\alpha$, при котором $T_1 = T_2 = T_3$.

Решение:

а) На узел А действуют три силы: сила натяжения троса 1 ($\vec{T}_1$), сила натяжения троса 2 ($\vec{T}_2$) и сила натяжения троса 3, которая уравновешивает силу тяжести груза ($m\vec{g}$). Поскольку узел А покоится, его ускорение равно нулю. Согласно первому закону Ньютона (условию равновесия), векторная сумма всех сил, приложенных к узлу, равна нулю.

Ответ: $\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + m\vec{g} = \vec{0}$

б) Для того чтобы записать условие равновесия в проекциях, спроецируем векторное уравнение на оси координат $Ox$ и $Oy$, показанные на рисунке 22.2. Угол $\alpha$ отсчитывается от вертикальной оси $Oy$.

Проекция на ось $Ox$:

Проекция силы $\vec{T}_1$ на ось $Ox$ равна $T_{1x} = -T_1 \sin(\alpha)$.

Проекция силы $\vec{T}_2$ на ось $Ox$ равна $T_{2x} = T_2 \sin(\alpha)$.

Проекция силы $m\vec{g}$ на ось $Ox$ равна нулю, так как эта сила перпендикулярна оси $Ox$.

Сумма проекций на ось $Ox$: $T_2 \sin(\alpha) - T_1 \sin(\alpha) = 0$.

Проекция на ось $Oy$:

Проекция силы $\vec{T}_1$ на ось $Oy$ равна $T_{1y} = T_1 \cos(\alpha)$.

Проекция силы $\vec{T}_2$ на ось $Oy$ равна $T_{2y} = T_2 \cos(\alpha)$.

Проекция силы $m\vec{g}$ на ось $Oy$ равна $-mg$.

Сумма проекций на ось $Oy$: $T_1 \cos(\alpha) + T_2 \cos(\alpha) - mg = 0$.

Ответ: Система уравнений:

$Ox: T_2 \sin(\alpha) - T_1 \sin(\alpha) = 0$

$Oy: T_1 \cos(\alpha) + T_2 \cos(\alpha) - mg = 0$

в) Решим систему уравнений, полученную в пункте б), чтобы найти модули сил натяжения $T_1$ и $T_2$.

Из уравнения для оси $Ox$ следует: $T_1 \sin(\alpha) = T_2 \sin(\alpha)$. Поскольку по условию тросы натянуты под углом, $\alpha \neq 0$, и значит $\sin(\alpha) \neq 0$. Сократив на $\sin(\alpha)$, получаем $T_1 = T_2$. Это также очевидно из симметрии задачи.

Подставим $T_1 = T_2$ в уравнение для оси $Oy$:

$T_1 \cos(\alpha) + T_1 \cos(\alpha) - mg = 0$

$2T_1 \cos(\alpha) = mg$

Отсюда выражаем $T_1$:

$T_1 = \frac{mg}{2\cos(\alpha)}$

Поскольку $T_1 = T_2$, то $T_2$ имеет такое же значение.

Ответ: $T_1 = T_2 = \frac{mg}{2\cos(\alpha)}$

г) Найдем значение угла $\alpha$, при котором модули сил натяжения всех трёх тросов равны.

Модули сил натяжения тросов 1 и 2 равны: $T_1 = T_2 = \frac{mg}{2\cos(\alpha)}$.

Модуль силы натяжения троса 3, на котором висит груз, уравновешивает силу тяжести груза. Следовательно, $T_3 = mg$.

Условие равенства всех трёх сил натяжения: $T_1 = T_2 = T_3$. Достаточно приравнять $T_1$ и $T_3$:

$\frac{mg}{2\cos(\alpha)} = mg$

Разделим обе части уравнения на $mg$ (считая, что $m \neq 0$):

$\frac{1}{2\cos(\alpha)} = 1$

$2\cos(\alpha) = 1$

$\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$

Для острого угла $\alpha$, показанного на рисунке, это соответствует значению $\alpha = 60^\circ$.

Ответ: $\alpha = 60^\circ$