Номер 6, страница 206, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 21. Движение жидкостей и газов - номер 6, страница 206.

Условие.

6. Давление в широкой части трубы в 2 раза больше нормального атмосферного давления, а радиус широкой части трубы в 2 раза больше радиуса узкой части. Какова должна быть скорость воды в широкой части трубы, чтобы давление в её узкой части было в 2 раза меньше нормального атмосферного давления?

Решение 2.

Дано

$P_1 = 2 P_a$

$R_1 = 2 R_2$

$P_2 = \frac{1}{2} P_a$

Где $P_1, R_1$ — давление и радиус в широкой части трубы, $P_2, R_2$ — давление и радиус в узкой части трубы, $P_a$ — нормальное атмосферное давление, $\rho$ — плотность воды.

Значения в системе СИ:

Нормальное атмосферное давление $P_a \approx 10^5 \text{ Па}$.

Плотность воды $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$.

Найти:

$v_1$ — скорость воды в широкой части трубы.

Решение

Для решения этой задачи мы будем использовать два фундаментальных принципа гидродинамики для стационарного потока идеальной (несжимаемой и невязкой) жидкости: уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.

1. Уравнение неразрывности.

Это уравнение является следствием закона сохранения массы. Для несжимаемой жидкости оно гласит, что объемный расход жидкости постоянен во всех сечениях трубы:

$S_1 v_1 = S_2 v_2$

где $S_1$ и $S_2$ — площади поперечного сечения широкой и узкой частей трубы, а $v_1$ и $v_2$ — скорости течения в этих частях.

Площадь поперечного сечения круглой трубы равна $S = \pi R^2$. Подставим это в уравнение:

$\pi R_1^2 v_1 = \pi R_2^2 v_2$

Из условия задачи известно, что $R_1 = 2 R_2$. Подставим это соотношение:

$\pi (2 R_2)^2 v_1 = \pi R_2^2 v_2$

$4 \pi R_2^2 v_1 = \pi R_2^2 v_2$

Сократив обе части на $\pi R_2^2$, мы найдем связь между скоростями в широкой и узкой частях трубы:

$4 v_1 = v_2$

2. Уравнение Бернулли.

Это уравнение является следствием закона сохранения энергии для движущейся жидкости. Для горизонтальной трубы (поскольку изменение высоты не упоминается, мы считаем $h_1 = h_2$) оно имеет вид:

$P_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = P_2 + \frac{\rho v_2^2}{2}$

Наша цель — найти $v_1$. Для этого подставим в уравнение Бернулли найденное ранее соотношение $v_2 = 4 v_1$:

$P_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = P_2 + \frac{\rho (4 v_1)^2}{2}$

$P_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = P_2 + \frac{16 \rho v_1^2}{2}$

Сгруппируем члены, содержащие давление, в одной части уравнения, а члены, содержащие скорость, — в другой:

$P_1 - P_2 = \frac{16 \rho v_1^2}{2} - \frac{\rho v_1^2}{2}$

$P_1 - P_2 = \frac{15 \rho v_1^2}{2}$

Теперь выразим из этого уравнения квадрат искомой скорости $v_1$:

$v_1^2 = \frac{2(P_1 - P_2)}{15 \rho}$

3. Подстановка значений и вычисление.

Подставим в полученную формулу значения давлений из условия: $P_1 = 2 P_a$ и $P_2 = \frac{1}{2} P_a$.

$P_1 - P_2 = 2 P_a - \frac{1}{2} P_a = \frac{3}{2} P_a$

Теперь подставим это выражение в формулу для $v_1^2$:

$v_1^2 = \frac{2 \cdot (\frac{3}{2} P_a)}{15 \rho} = \frac{3 P_a}{15 \rho} = \frac{P_a}{5 \rho}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{P_a}{5 \rho}}$

Подставим числовые значения $P_a \approx 10^5$ Па и $\rho \approx 1000$ кг/м³:

$v_1 = \sqrt{\frac{10^5}{5 \cdot 1000}} = \sqrt{\frac{100000}{5000}} = \sqrt{20}$

$v_1 \approx 4.47 \text{ м/с}$

Ответ: скорость воды в широкой части трубы должна быть приблизительно 4.47 м/с.