Номер 15, страница 202, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел - номер 15, страница 202.

Условие.

15. Гладкая горка высотой 0,5 м покоится на гладком столе. После небольшого толчка шайба, лежащая на вершине горки, соскальзывает с неё и движется затем по столу со скоростью 3 м/с.

a) Чему равно отношение массы горки к массе шайбы?

б) С какой скоростью будет двигаться по столу горка?

Решение 2.

Дано:

Высота горки $h = 0,5$ м
Скорость шайбы после соскальзывания $v_ш = 3$ м/с
Начальная скорость системы $v_0 = 0$ м/с
Ускорение свободного падения (примем) $g = 10$ м/с²

Найти:

а) $\frac{M_г}{m_ш}$ - ?
б) $|v_г|$ - ?

Решение:

Обозначим массу шайбы как $m_ш$, а массу горки как $M_г$. Скорость шайбы после соскальзывания относительно стола обозначим как $v_ш$, а скорость горки — как $v_г$.

Так как по условию все поверхности гладкие, то трение в системе отсутствует. Внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры стола) скомпенсированы в вертикальном направлении. Это означает, что система "горка-шайба" является замкнутой, и для нее выполняются законы сохранения импульса (в проекции на горизонтальную ось) и механической энергии.

1. Закон сохранения импульса. В начальный момент система покоилась, поэтому ее суммарный импульс был равен нулю. После того как шайба соскользнула, импульс системы в проекции на горизонтальную ось также должен остаться равным нулю. $0 = m_ш v_ш + M_г v_г$ (1) (Здесь $v_ш$ и $v_г$ — проекции скоростей на горизонтальную ось. Их знаки будут противоположны, так как шайба и горка движутся в разные стороны).

2. Закон сохранения механической энергии. Так как трение отсутствует, полная механическая энергия системы сохраняется. Начальная потенциальная энергия шайбы ($E_п = m_ш g h$) переходит в конечную кинетическую энергию шайбы и горки. $m_ш g h = \frac{1}{2}m_ш v_ш^2 + \frac{1}{2}M_г v_г^2$ (2)

Решим полученную систему уравнений (1) и (2).

а) Чему равно отношение массы горки к массе шайбы?

Из закона сохранения импульса (1) выразим скорость горки $v_г$: $v_г = -\frac{m_ш}{M_г} v_ш$

Подставим это выражение в закон сохранения энергии (2): $m_ш g h = \frac{1}{2}m_ш v_ш^2 + \frac{1}{2}M_г \left(-\frac{m_ш}{M_г} v_ш\right)^2$

Упростим правую часть: $m_ш g h = \frac{1}{2}m_ш v_ш^2 + \frac{1}{2}M_г \frac{m_ш^2}{M_г^2} v_ш^2 = \frac{1}{2}m_ш v_ш^2 + \frac{1}{2}\frac{m_ш^2}{M_г} v_ш^2$

Сократим обе части уравнения на $m_ш$: $g h = \frac{1}{2}v_ш^2 + \frac{1}{2}\frac{m_ш}{M_г} v_ш^2$

Вынесем общий множитель за скобки: $g h = \frac{1}{2}v_ш^2 \left(1 + \frac{m_ш}{M_г}\right)$

Выразим из этого уравнения отношение $\frac{m_ш}{M_г}$: $1 + \frac{m_ш}{M_г} = \frac{2gh}{v_ш^2}$ $\frac{m_ш}{M_г} = \frac{2gh}{v_ш^2} - 1$

Подставим числовые значения из условия задачи: $\frac{m_ш}{M_г} = \frac{2 \cdot 10 \text{ м/с²} \cdot 0,5 \text{ м}}{(3 \text{ м/с})^2} - 1 = \frac{10}{9} - 1 = \frac{1}{9}$

В задаче требуется найти отношение массы горки к массе шайбы, то есть $\frac{M_г}{m_ш}$: $\frac{M_г}{m_ш} = \frac{1}{1/9} = 9$

Ответ: Отношение массы горки к массе шайбы равно 9.

б) С какой скоростью будет двигаться по столу горка?

Для нахождения скорости горки воспользуемся выражением, полученным из закона сохранения импульса. Нас интересует модуль скорости (скорость как скалярная величина), обозначим его $|v_г|$. $|v_г| = \left|-\frac{m_ш}{M_г} v_ш\right| = \frac{m_ш}{M_г} |v_ш|$

Из пункта а) мы знаем, что $\frac{m_ш}{M_г} = \frac{1}{9}$. Подставим это значение и известную скорость шайбы: $|v_г| = \frac{1}{9} \cdot 3 \text{ м/с} = \frac{3}{9} \text{ м/с} = \frac{1}{3} \text{ м/с}$

Скорость горки будет равна $\frac{1}{3}$ м/с, что приблизительно составляет 0,33 м/с.

Ответ: Горка будет двигаться по столу со скоростью $\frac{1}{3}$ м/с.