Номер 8, страница 200, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел - номер 8, страница 200.

Условие.

8. На гладком столе покоится гладкая горка массой 100 г с двумя вершинами высотой 8 см и 2 см (рис. 20.3). С более высокой вершины начинает соскальзывать влево шайба массой 20 г. Шайба не отрывается от горки.

Рис. 20.3

a) Как будут направлены скорости горки и шайбы относительно стола в момент, когда шайба будет находиться на менее высокой вершине?

б) Чему будут равны скорости горки и шайбы относительно стола в этот момент?

Решение 2.

а) Как будут направлены скорости горки и шайбы относительно стола в момент, когда шайба будет находиться на менее высокой вершине?

Рассмотрим систему тел, состоящую из горки и шайбы. Поскольку стол и горка гладкие, внешние силы в горизонтальном направлении на систему не действуют. Это означает, что для данной системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

В начальный момент времени и горка, и шайба покоились, следовательно, их суммарный импульс был равен нулю. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы должен оставаться равным нулю и в любой последующий момент времени.

Пусть $\text{M}$ и $\vec{V}$ — масса и скорость горки, а $\text{m}$ и $\vec{v}$ — масса и скорость шайбы относительно стола. Закон сохранения импульса в векторной форме записывается как:

$M\vec{V} + m\vec{v} = \vec{0}$

Из этого уравнения следует, что $M\vec{V} = -m\vec{v}$. Так как массы $\text{M}$ и $\text{m}$ являются положительными величинами, векторы скоростей $\vec{V}$ и $\vec{v}$ должны быть направлены в противоположные стороны. Шайба по условию соскальзывает влево, значит, ее скорость $\vec{v}$ направлена влево. Следовательно, скорость горки $\vec{V}$ будет направлена вправо.

Ответ: Скорости горки и шайбы будут направлены горизонтально в противоположные стороны: шайба будет двигаться влево, а горка — вправо.

б) Чему будут равны скорости горки и шайбы относительно стола в этот момент?

Дано:

$M = 100 \text{ г}$
$m = 20 \text{ г}$
$H = 8 \text{ см}$
$h = 2 \text{ см}$

$M = 0.1 \text{ кг}$
$m = 0.02 \text{ кг}$
$H = 0.08 \text{ м}$
$h = 0.02 \text{ м}$

Найти:

$\text{V}$ — скорость горки, $\text{v}$ — скорость шайбы

Решение:

Для решения задачи воспользуемся двумя фундаментальными законами сохранения: законом сохранения импульса для горизонтального направления и законом сохранения механической энергии. Система является консервативной, так как трение отсутствует.

1. Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось, направленную вправо. Начальный импульс системы равен нулю. Конечный импульс складывается из импульса горки $MV$ и импульса шайбы $-mv$ (знак "минус" так как шайба движется влево).

$0 = MV - mv$

Отсюда выразим скорость горки $\text{V}$ через скорость шайбы $\text{v}$:

$MV = mv \implies V = \frac{m}{M}v$ (1)

2. Запишем закон сохранения механической энергии. Начальная энергия системы равна потенциальной энергии шайбы на высоте $\text{H}$. Конечная энергия складывается из кинетических энергий горки и шайбы и потенциальной энергии шайбы на высоте $\text{h}$. Нулевой уровень потенциальной энергии выберем на уровне стола.

Начальная энергия: $E_0 = mgH$

Конечная энергия: $E_f = \frac{MV^2}{2} + \frac{mv^2}{2} + mgh$

Приравниваем начальную и конечную энергию:

$mgH = \frac{MV^2}{2} + \frac{mv^2}{2} + mgh$

$mg(H-h) = \frac{MV^2 + mv^2}{2}$ (2)

Подставим выражение для $\text{V}$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$mg(H-h) = \frac{1}{2}\left(M\left(\frac{m}{M}v\right)^2 + mv^2\right)$

$mg(H-h) = \frac{1}{2}\left(M\frac{m^2}{M^2}v^2 + mv^2\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{m^2}{M}v^2 + mv^2\right)$

Вынесем общие множители за скобку:

$mg(H-h) = \frac{1}{2}mv^2\left(\frac{m}{M} + 1\right) = \frac{1}{2}mv^2\left(\frac{m+M}{M}\right)$

Из последнего выражения найдем квадрат скорости шайбы $v^2$:

$v^2 = \frac{2g(H-h)M}{m+M}$

$v = \sqrt{\frac{2g(H-h)M}{m+M}}$

Подставим числовые значения, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot (0.08 \text{ м} - 0.02 \text{ м}) \cdot 0.1 \text{ кг}}{0.02 \text{ кг} + 0.1 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{20 \cdot 0.06 \cdot 0.1}{0.12}} = \sqrt{\frac{0.12}{0.12}} = \sqrt{1} = 1 \text{ м/с}$

Теперь, используя уравнение (1), найдем скорость горки $\text{V}$:

$V = \frac{m}{M}v = \frac{0.02 \text{ кг}}{0.1 \text{ кг}} \cdot 1 \text{ м/с} = 0.2 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость горки равна $0.2$ м/с, скорость шайбы равна $\text{1}$ м/с.