Номер 1, страница 197, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел - номер 1, страница 197.

Условие.

1. Снаряд вылетел из пушки вертикально вверх с начальной скоростью, равной по модулю $v_0$. В верхней точке траектории он разорвался на два осколка массами $m_1$ и $m_2$. Модуль скорости первого осколка сразу после разрыва равен $v_{10}$. Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

а) Запишите соотношение для масс осколков и модулей скоростей осколков $v_{10}$ и $v_{20}$ сразу после разрыва.

б) Запишите соотношение для модуля начальной скорости снаряда и высоты его разрыва $\text{h}$.

в) Выразите модули скоростей осколков $v_1$ и $v_2$ непосредственно перед падением на землю через модули их скоростей $v_{10}$ и $v_{20}$ сразу после разрыва и модуль начальной скорости снаряда $v_0$.

г) Выразите модуль скорости $v_2$ второго осколка непосредственно перед падением на землю через заданные в условии величины.

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость снаряда: $v_0$
Массы осколков: $m_1$, $m_2$
Модуль скорости первого осколка сразу после разрыва: $v_{10}$
(Все величины представлены в общем виде, поэтому перевод в СИ не требуется).

Найти:

а) Соотношение для $m_1$, $m_2$, $v_{10}$ и $v_{20}$.
б) Соотношение для $v_0$ и $\text{h}$.
в) $v_1$ и $v_2$ через $v_{10}$, $v_{20}$ и $v_0$.
г) $v_2$ через $v_0$, $m_1$, $m_2$ и $v_{10}$.

Решение:

а) Запишите соотношение для масс осколков и модулей скоростей осколков $v_{10}$ и $v_{20}$ сразу после разрыва.

Разрыв снаряда происходит в верхней точке траектории, где его скорость равна нулю. Следовательно, импульс снаряда непосредственно перед разрывом равен нулю. Так как разрыв является внутренним процессом для системы "снаряд", то для нее выполняется закон сохранения импульса. Суммарный импульс осколков сразу после разрыва также должен быть равен нулю.

Пусть $\vec{v}_{10}$ и $\vec{v}_{20}$ — векторы скоростей осколков сразу после разрыва. Закон сохранения импульса в векторной форме:

$m_1 \vec{v}_{10} + m_2 \vec{v}_{20} = 0$

Из этого уравнения следует, что $m_1 \vec{v}_{10} = -m_2 \vec{v}_{20}$. Это означает, что векторы скоростей осколков направлены в противоположные стороны. Переходя к модулям векторов, получаем искомое соотношение:

$m_1 |\vec{v}_{10}| = m_2 |\vec{v}_{20}|$

$m_1 v_{10} = m_2 v_{20}$

Ответ: $m_1 v_{10} = m_2 v_{20}$

б) Запишите соотношение для модуля начальной скорости снаряда и высоты его разрыва h.

Для нахождения связи между начальной скоростью $v_0$ и максимальной высотой подъема $\text{h}$ можно использовать закон сохранения механической энергии, так как по условию сопротивлением воздуха можно пренебречь. Примем потенциальную энергию на поверхности земли равной нулю.

В момент старта (на высоте 0) снаряд обладает только кинетической энергией: $E_{начальная} = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v_0^2$.

В верхней точке траектории (на высоте $\text{h}$) скорость снаряда равна нулю, и он обладает только потенциальной энергией: $E_{конечная} = (m_1 + m_2)gh$.

По закону сохранения энергии $E_{начальная} = E_{конечная}$:

$\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v_0^2 = (m_1 + m_2)gh$

Сократив массу снаряда $(m_1 + m_2)$, получим:

$\frac{1}{2}v_0^2 = gh$

Ответ: $v_0^2 = 2gh$

в) Выразите модули скоростей осколков $v_1$ и $v_2$ непосредственно перед падением на землю через модули их скоростей $v_{10}$ и $v_{20}$ сразу после разрыва и модуль начальной скорости снаряда $v_0$.

Рассмотрим движение каждого осколка после разрыва до момента падения на землю. Снова воспользуемся законом сохранения механической энергии для каждого осколка в отдельности. В момент разрыва осколки находятся на высоте $\text{h}$ и имеют скорости с модулями $v_{10}$ и $v_{20}$.

Для первого осколка (масса $m_1$):

Полная механическая энергия в момент разрыва: $E_{1,начальная} = \frac{1}{2}m_1 v_{10}^2 + m_1 g h$.

Полная механическая энергия перед падением на землю (высота 0, скорость $v_1$): $E_{1,конечная} = \frac{1}{2}m_1 v_1^2$.

Приравнивая энергии: $\frac{1}{2}m_1 v_{10}^2 + m_1 g h = \frac{1}{2}m_1 v_1^2$.

Сокращаем $m_1$ и умножаем на 2: $v_{10}^2 + 2gh = v_1^2$.

Из пункта б) мы знаем, что $2gh = v_0^2$. Подставим это выражение:

$v_1^2 = v_{10}^2 + v_0^2 \implies v_1 = \sqrt{v_{10}^2 + v_0^2}$.

Аналогичные рассуждения для второго осколка (масса $m_2$):

$\frac{1}{2}m_2 v_{20}^2 + m_2 g h = \frac{1}{2}m_2 v_2^2 \implies v_{20}^2 + 2gh = v_2^2$.

Подставляя $2gh = v_0^2$, получаем:

$v_2^2 = v_{20}^2 + v_0^2 \implies v_2 = \sqrt{v_{20}^2 + v_0^2}$.

Ответ: $v_1 = \sqrt{v_{10}^2 + v_0^2}$; $v_2 = \sqrt{v_{20}^2 + v_0^2}$

г) Выразите модуль скорости $v_2$ второго осколка непосредственно перед падением на землю через заданные в условии величины.

Для решения этой задачи необходимо объединить результаты, полученные в предыдущих пунктах. Заданные величины: $m_1, m_2, v_0, v_{10}$.

Из пункта в) мы имеем выражение для $v_2$: $v_2 = \sqrt{v_{20}^2 + v_0^2}$.

В этом выражении скорость $v_{20}$ не является заданной величиной. Ее нужно выразить через заданные, используя соотношение из пункта а): $m_1 v_{10} = m_2 v_{20}$.

Отсюда выражаем $v_{20}$:

$v_{20} = \frac{m_1}{m_2}v_{10}$

Теперь подставим это выражение для $v_{20}$ в формулу для $v_2$:

$v_2 = \sqrt{\left(\frac{m_1}{m_2}v_{10}\right)^2 + v_0^2}$

Это и есть конечное выражение для скорости второго осколка перед падением на землю.

Ответ: $v_2 = \sqrt{\frac{m_1^2}{m_2^2} v_{10}^2 + v_0^2}$