Номер 2, страница 197, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел - номер 2, страница 197.

Условие.

2. Снаряд вылетел из пушки вертикально вверх с начальной скоростью 500 м/с. В верхней точке траектории он разорвался на два осколка, которые упали на землю со скоростями $v_1 = 1 \text{ км/с}$ и $v_2 = 600 \text{ м/с}$. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Чему равно отношение масс осколков?

Решение 2.

Дано:

$v_0 = 500$ м/с

$v_1 = 1$ км/с

$v_2 = 600$ м/с

$v_1 = 1 \text{ км/с} = 1000 \text{ м/с}$

Найти:

$\frac{m_1}{m_2} - ?$

Решение:

Обозначим массу снаряда как $\text{M}$, а массы осколков как $m_1$ и $m_2$. Тогда $M = m_1 + m_2$.

1. Найдем максимальную высоту подъема снаряда $\text{H}$. Согласно закону сохранения энергии, начальная кинетическая энергия снаряда полностью переходит в его потенциальную энергию на максимальной высоте (так как скорость в верхней точке равна нулю).

$\frac{M v_0^2}{2} = M g H$

Из этого уравнения получаем связь между начальной скоростью и высотой подъема:

$v_0^2 = 2 g H$

2. В верхней точке траектории скорость снаряда равна нулю, следовательно, его импульс перед разрывом также равен нулю. В момент взрыва для системы осколков выполняется закон сохранения импульса:

$0 = m_1 \vec{u_1} + m_2 \vec{u_2}$

где $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$ — скорости осколков сразу после взрыва. Из этого следует, что векторы скоростей осколков направлены в противоположные стороны, а для их модулей справедливо соотношение:

$m_1 u_1 = m_2 u_2$

Отсюда искомое отношение масс осколков равно:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{u_2}{u_1}$

3. Найдем скорости осколков $u_1$ и $u_2$ сразу после взрыва. Для этого применим закон сохранения энергии для каждого осколка в процессе его падения с высоты $\text{H}$.

Для первого осколка (массой $m_1$): его полная механическая энергия в момент разрыва на высоте $\text{H}$ (сумма кинетической и потенциальной энергий) равна его конечной кинетической энергии у поверхности земли.

$\frac{m_1 u_1^2}{2} + m_1 g H = \frac{m_1 v_1^2}{2}$

Разделив все члены уравнения на $m_1$, получим:

$u_1^2 + 2 g H = v_1^2$

Аналогично для второго осколка (массой $m_2$):

$u_2^2 + 2 g H = v_2^2$

4. Подставим в полученные выражения найденное ранее соотношение $2 g H = v_0^2$:

$u_1^2 + v_0^2 = v_1^2 \Rightarrow u_1 = \sqrt{v_1^2 - v_0^2}$

$u_2^2 + v_0^2 = v_2^2 \Rightarrow u_2 = \sqrt{v_2^2 - v_0^2}$

5. Теперь можем найти отношение масс, подставив выражения для $u_1$ и $u_2$ в формулу из пункта 2:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{u_2}{u_1} = \frac{\sqrt{v_2^2 - v_0^2}}{\sqrt{v_1^2 - v_0^2}} = \sqrt{\frac{v_2^2 - v_0^2}{v_1^2 - v_0^2}}$

Подставим числовые значения в СИ:

$\frac{m_1}{m_2} = \sqrt{\frac{600^2 - 500^2}{1000^2 - 500^2}} = \sqrt{\frac{360000 - 250000}{1000000 - 250000}} = \sqrt{\frac{110000}{750000}} = \sqrt{\frac{11}{75}}$

Упростим полученное выражение:

$\sqrt{\frac{11}{75}} = \sqrt{\frac{11}{25 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{11}}{5\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{11} \cdot \sqrt{3}}{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{33}}{15}$

Здесь под $m_1$ понимается масса осколка, который упал на землю со скоростью $v_1$, а под $m_2$ — масса осколка, который упал со скоростью $v_2$.

Ответ: $\frac{m_1}{m_2} = \frac{\sqrt{33}}{15}$.