Номер 14, страница 196, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 14, страница 196.

Условие.

14. С высоты $\text{H}$ по гладкому желобу, переходящему в окружность радиусом $r = 0,3 \text{ м}$, скользит без начальной скорости маленькая шайба массой $m = 50 \text{ г}$. На высоте $h = 0,4 \text{ м}$ (рис. 19.13) шайба отрывается от желоба.

а) С какой высоты $\text{H}$ шайба начинала движение?

б) С какой силой шайба давит на жёлоб, когда она находится на одной высоте с центром окружности?

Рис. 19.13

Решение 2.

Дано:

$r = 0,3$ м

$m = 50$ г $= 0,05$ кг

$h = 0,4$ м

$v_0 = 0$ м/с

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Найти:

a) $\text{H}$ - ?

б) $\text{P}$ - ? (сила давления на жёлоб на высоте $\text{r}$)

Решение:

a) С какой высоты H шайба начинала движение?

Поскольку жёлоб гладкий, трение отсутствует, и для системы "шайба-Земля" выполняется закон сохранения полной механической энергии.

1. Определим скорость шайбы $\text{v}$ в момент отрыва от жёлоба на высоте $\text{h}$. Отрыв происходит, когда сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ обращается в ноль. В этот момент на шайбу действует только сила тяжести $mg$. Запишем второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление (направленное к центру окружности).

Пусть $\alpha$ — это угол, который образует радиус, проведенный к шайбе в точке отрыва, с горизонталью, проходящей через центр окружности. Тогда высота $\text{h}$ от нижней точки жёлоба связана с радиусом $\text{r}$ и углом $\alpha$ как $h = r + r \sin\alpha$.

Проекция силы тяжести на радиальное направление равна $mg \sin\alpha$. Эта сила сообщает шайбе центростремительное ускорение $a_c = v^2/r$.

$mg \sin\alpha = \frac{mv^2}{r}$

Из этого уравнения можно выразить квадрат скорости: $v^2 = gr \sin\alpha$.

Из формулы для высоты выразим $\sin\alpha = \frac{h-r}{r}$.

Подставим это выражение в формулу для квадрата скорости:

$v^2 = gr \left(\frac{h-r}{r}\right) = g(h-r)$

2. Применим закон сохранения механической энергии. В начальный момент на высоте $\text{H}$ шайба покоилась, её энергия была чисто потенциальной: $E_1 = mgH$. В момент отрыва на высоте $\text{h}$ шайба обладает и кинетической, и потенциальной энергией: $E_2 = \frac{mv^2}{2} + mgh$.

Приравниваем энергии $E_1 = E_2$:

$mgH = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Сокращаем массу $\text{m}$ и подставляем полученное ранее выражение для $v^2$:

$gH = \frac{g(h-r)}{2} + gh$

Сокращаем $\text{g}$:

$H = \frac{h-r}{2} + h = \frac{h-r+2h}{2} = \frac{3h - r}{2}$

Выполним расчёт:

$H = \frac{3 \cdot 0,4 \text{ м} - 0,3 \text{ м}}{2} = \frac{1,2 \text{ м} - 0,3 \text{ м}}{2} = \frac{0,9 \text{ м}}{2} = 0,45 \text{ м}$

Ответ: $H = 0,45$ м.

б) С какой силой шайба давит на жёлоб, когда она находится на одной высоте с центром окружности?

1. Найдём скорость шайбы $v_r$, когда она находится на высоте $\text{r}$ (на одном уровне с центром окружности). Снова воспользуемся законом сохранения энергии, сравнивая начальное состояние (на высоте $\text{H}$) и состояние на высоте $\text{r}$.

$mgH = \frac{mv_r^2}{2} + mgr$

$g(H-r) = \frac{v_r^2}{2}$

$v_r^2 = 2g(H-r)$

2. В этой точке сила тяжести $mg$ направлена вертикально вниз, а сила нормальной реакции жёлоба $N_r$ — горизонтально к центру окружности. Горизонтальная сила $N_r$ и создаёт центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона:

$N_r = \frac{mv_r^2}{r}$

Подставим сюда выражение для $v_r^2$:

$N_r = \frac{m \cdot 2g(H-r)}{r} = 2mg\left(\frac{H}{r} - 1\right)$

Согласно третьему закону Ньютона, сила $\text{P}$, с которой шайба давит на жёлоб, равна по модулю силе нормальной реакции $N_r$.

$P = N_r = 2mg\left(\frac{H}{r} - 1\right)$

Подставим числовые значения:

$P = 2 \cdot 0,05 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²} \cdot \left(\frac{0,45 \text{ м}}{0,3 \text{ м}} - 1\right) = 1 \text{ Н} \cdot (1,5 - 1) = 1 \text{ Н} \cdot 0,5 = 0,5 \text{ Н}$

Ответ: $0,5$ Н.