Номер 7, страница 193, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 7, страница 193.

Условие.

7. Небольшая шайба массой $\text{m}$ скользит по жёлобу, переходящему в окружность радиуса $\text{r}$, и совершает полный оборот (рис. 19.7). Обозначим $\text{H}$ начальную высоту шайбы, $v^{\text{H}}$ — модуль скорости шайбы в нижней точке жёлоба, а $v^{\text{B}}$ — модуль её скорости в его верхней точке. Сопротивлением воздуха и трением можно пренебречь.

Рис. 19.7

a) Изобразите на чертеже силы, действующие на шайбу в верхней и нижней точках окружности. Силу нормальной реакции, действующую на шайбу в этих точках, обозначьте соответственно $\vec{N}_{\text{B}}$ и $\vec{N}_{\text{H}}$.

Итак, для этой ситуации справедливы те же уравнения, что и для рассмотренного выше движения по окружности в вертикальной плоскости груза, подвешенного на нити, только роль силы натяжения нити играет теперь сила нормальной реакции со стороны жёлоба.

б) Запишите в проекциях на ось $\text{x}$ уравнение второго закона Ньютона для шайбы, находящейся в верхней точке кругового жёлоба. Ось $\text{x}$ направьте из положения шайбы к центру окружности.

в) Запишите выражение для минимально возможной скорости шайбы в верхней точке окружности.

г) Запишите уравнение, выражающее закон сохранения энергии в механике при переходе шайбы из начального положения в верхнюю точку окружности.

д) Запишите выражение для минимально возможной начальной высоты $\text{H}$, при которой шайба совершит полный оборот.

Решение 2.

Дано:

Масса шайбы: $\text{m}$

Радиус желоба: $\text{r}$

Начальная высота: $\text{H}$

Скорость в нижней точке: $v_н$

Скорость в верхней точке: $v_в$

Сила нормальной реакции в нижней точке: $\vec{N}_н$

Сила нормальной реакции в верхней точке: $\vec{N}_в$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

а) Силы, действующие на шайбу в верхней и нижней точках.

б) Уравнение второго закона Ньютона в верхней точке.

в) Выражение для минимальной скорости в верхней точке.

г) Уравнение закона сохранения энергии.

д) Выражение для минимальной начальной высоты $\text{H}$.

Решение:

а) Изобразим силы, действующие на шайбу.
В нижней точке окружности: на шайбу действуют две силы: сила тяжести $\vec{F}_т = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры (желоба) $\vec{N}_н$, направленная вертикально вверх, к центру окружности.
В верхней точке окружности: на шайбу действуют две силы: сила тяжести $\vec{F}_т = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры (желоба) $\vec{N}_в$, также направленная вертикально вниз, к центру окружности.
Ответ: В нижней точке на шайбу действует сила тяжести (вниз) и сила нормальной реакции (вверх). В верхней точке на шайбу действует сила тяжести (вниз) и сила нормальной реакции (вниз).

б) Запишем второй закон Ньютона для шайбы в верхней точке окружности. Ось $\text{x}$ направим от положения шайбы к центру окружности, то есть вертикально вниз. В проекции на эту ось сила тяжести $mg$ и сила нормальной реакции $N_в$ будут положительны. Центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v_в^2}{r}$ также направлено к центру, то есть будет положительным.
Второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{a} = \vec{F}_т + \vec{N}_в$.
В проекции на ось $\text{x}$: $ma_ц = mg + N_в$.
Подставим выражение для центростремительного ускорения: $m\frac{v_в^2}{r} = mg + N_в$.
Ответ: $N_в + mg = m \frac{v_в^2}{r}$.

в) Минимально возможная скорость шайбы в верхней точке соответствует условию, когда шайба едва касается желоба, то есть сила нормальной реакции стремится к нулю, $N_в = 0$. Подставим это условие в уравнение из пункта б):
$0 + mg = m \frac{v_{в,min}^2}{r}$
Сократим массу $\text{m}$:
$g = \frac{v_{в,min}^2}{r}$
Отсюда выразим минимальную скорость:
$v_{в,min}^2 = gr$
$v_{в,min} = \sqrt{gr}$
Ответ: $v_{в,min} = \sqrt{gr}$.

г) Запишем закон сохранения механической энергии для перехода шайбы из начального положения на высоте $\text{H}$ в верхнюю точку окружности на высоте $2r$. Уровень нулевой потенциальной энергии выберем на уровне нижней точки окружности.
В начальном положении (на высоте $\text{H}$) шайба покоится (начальная скорость равна нулю). Ее полная механическая энергия равна потенциальной энергии: $E_1 = E_{p1} + E_{k1} = mgH + 0 = mgH$.
В верхней точке окружности (на высоте $2r$) шайба имеет скорость $v_в$. Ее полная механическая энергия складывается из потенциальной и кинетической энергий: $E_2 = E_{p2} + E_{k2} = mg(2r) + \frac{1}{2}mv_в^2$.
Так как трение и сопротивление воздуха отсутствуют, полная механическая энергия сохраняется: $E_1 = E_2$.
$mgH = mg \cdot 2r + \frac{1}{2}mv_в^2$.
Ответ: $mgH = mg \cdot 2r + \frac{1}{2}mv_в^2$.

д) Для того чтобы шайба совершила полный оборот, ее скорость в верхней точке должна быть не меньше минимальной, найденной в пункте в): $v_в \ge v_{в,min} = \sqrt{gr}$. Минимальной начальной высоте $H_{min}$ будет соответствовать минимальная скорость в верхней точке, то есть $v_в = v_{в,min}$.
Подставим $v_{в,min}^2 = gr$ в уравнение закона сохранения энергии из пункта г):
$mgH_{min} = mg \cdot 2r + \frac{1}{2}m(v_{в,min}^2)$
$mgH_{min} = 2mgr + \frac{1}{2}m(gr)$
Сократим обе части уравнения на $mg$:
$H_{min} = 2r + \frac{1}{2}r$
$H_{min} = 2.5r$
Ответ: $H_{min} = 2.5r$.