Номер 3, страница 191, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 3, страница 191.

Условие.

3. На нити подвешен шарик. На какой угол от вертикали надо отклонить нить, держа её натянутой, чтобы при прохождении шариком положения равновесия сила натяжения нити была в 2 раза больше силы тяжести? Шарик отпускают без толчка, сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение 2.

Дано:

$T = 2F_г$, где $\text{T}$ – сила натяжения нити в положении равновесия, $F_г$ – сила тяжести.

$v_0 = 0$ (шарик отпускают без толчка)

Найти:

$\alpha$

Решение:

Рассмотрим движение шарика из начального положения (отклоненного на угол $\alpha$) в конечное (положение равновесия). Так как сопротивлением воздуха можно пренебречь, полная механическая энергия системы "шарик-Земля" сохраняется.

1. Закон сохранения энергии.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение шарика (положение равновесия). В начальном положении шарик поднят на высоту $\text{h}$ относительно нулевого уровня. Если $\text{L}$ – длина нити, то из геометрических соображений $h = L - L\cos\alpha = L(1 - \cos\alpha)$.

Поскольку шарик отпускают из состояния покоя ($v_0 = 0$), его начальная кинетическая энергия $E_{к1} = 0$. Начальная потенциальная энергия $E_{п1} = mgh = mgL(1 - \cos\alpha)$.

Полная начальная энергия: $E_1 = E_{к1} + E_{п1} = mgL(1 - \cos\alpha)$.

В положении равновесия высота шарика $h=0$, поэтому его потенциальная энергия $E_{п2} = 0$. Шарик имеет некоторую скорость $\text{v}$, его кинетическая энергия $E_{к2} = \frac{1}{2}mv^2$.

Полная конечная энергия: $E_2 = E_{к2} + E_{п2} = \frac{1}{2}mv^2$.

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mgL(1 - \cos\alpha) = \frac{1}{2}mv^2$

Выразим отсюда квадрат скорости в нижней точке:

$v^2 = 2gL(1 - \cos\alpha)$ (1)

2. Второй закон Ньютона для положения равновесия.

В нижней точке траектории на шарик действуют две силы: сила тяжести $F_г = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вертикально вверх. Равнодействующая этих сил создает центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{L}$, направленное к центру окружности (вверх).

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$T - mg = ma_ц$

$T - mg = m\frac{v^2}{L}$ (2)

3. Использование условия задачи и решение.

По условию, в положении равновесия сила натяжения нити в 2 раза больше силы тяжести: $T = 2F_г = 2mg$.

Подставим это значение в уравнение (2):

$2mg - mg = m\frac{v^2}{L}$

$mg = m\frac{v^2}{L}$

Сократим массу $\text{m}$ и выразим квадрат скорости:

$v^2 = gL$ (3)

Теперь приравняем правые части выражений для $v^2$ из уравнений (1) и (3):

$2gL(1 - \cos\alpha) = gL$

Сократим обе части на $gL$ (так как $g \ne 0$ и $L \ne 0$):

$2(1 - \cos\alpha) = 1$

$1 - \cos\alpha = \frac{1}{2}$

$\cos\alpha = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Отсюда находим искомый угол $\alpha$:

$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ}$

Ответ: нить надо отклонить на угол $60^{\circ}$ от вертикали.