Номер 32, страница 187, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 32, страница 187.

Условие.

32. Пуля массой 8 г, летящая горизонтально, попадает в брусок массой 0,5 кг, лежащий на гладком столе, и углубляется в него на 3 см. Чему была равна скорость пули перед попаданием в брусок, если средняя сила сопротивления движению пули в бруске равна 20 кН?

Решение 2.

Дано:

Масса пули $m_1 = 8$ г

Масса бруска $m_2 = 0,5$ кг

Глубина проникновения $s = 3$ см

Средняя сила сопротивления $F_{сопр} = 20$ кН

$m_1 = 8 \text{ г} = 0,008 \text{ кг}$
$m_2 = 0,5 \text{ кг}$
$s = 3 \text{ см} = 0,03 \text{ м}$
$F_{сопр} = 20 \text{ кН} = 20000 \text{ Н}$

Найти:

Начальная скорость пули $v_1$

Решение:

Взаимодействие пули и бруска является неупругим столкновением. Поскольку стол гладкий, внешние силы в горизонтальном направлении на систему «пуля + брусок» не действуют. Следовательно, для этой системы выполняется закон сохранения импульса.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось. Пусть $v_1$ — начальная скорость пули, $\text{u}$ — общая скорость пули и бруска после того, как пуля застряла в бруске. Начальная скорость бруска равна нулю.

$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) u$

Во время движения пули внутри бруска происходит потеря механической энергии, которая превращается во внутреннюю энергию (тепло) за счет работы силы сопротивления. Изменение кинетической энергии системы равно работе, совершенной силой сопротивления.

Начальная кинетическая энергия системы:

$E_{k1} = \frac{m_1 v_1^2}{2}$

Конечная кинетическая энергия системы:

$E_{k2} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2}$

Работа силы сопротивления $A_{сопр}$ отрицательна, так как сила направлена против относительного движения пули в бруске:

$A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot s$

По теореме об изменении кинетической энергии:

$E_{k2} - E_{k1} = A_{сопр}$

$\frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} - \frac{m_1 v_1^2}{2} = -F_{сопр} \cdot s$

Мы получили систему из двух уравнений. Из закона сохранения импульса выразим скорость $\text{u}$:

$u = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}$

Подставим это выражение в уравнение изменения энергии:

$\frac{(m_1 + m_2)}{2} \left( \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} \right)^2 - \frac{m_1 v_1^2}{2} = -F_{сопр} \cdot s$

$\frac{m_1^2 v_1^2}{2(m_1 + m_2)} - \frac{m_1 v_1^2 (m_1 + m_2)}{2(m_1 + m_2)} = -F_{сопр} \cdot s$

$\frac{v_1^2 (m_1^2 - m_1(m_1+m_2))}{2(m_1 + m_2)} = -F_{сопр} \cdot s$

$\frac{v_1^2 (m_1^2 - m_1^2 - m_1 m_2)}{2(m_1 + m_2)} = -F_{сопр} \cdot s$

$\frac{-v_1^2 m_1 m_2}{2(m_1 + m_2)} = -F_{сопр} \cdot s$

Умножим обе части на $-1$ и выразим $v_1^2$:

$v_1^2 = \frac{2 F_{сопр} \cdot s \cdot (m_1 + m_2)}{m_1 m_2}$

Тогда начальная скорость пули равна:

$v_1 = \sqrt{\frac{2 F_{сопр} \cdot s \cdot (m_1 + m_2)}{m_1 m_2}}$

Подставим числовые значения из системы СИ:

$v_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 20000 \text{ Н} \cdot 0,03 \text{ м} \cdot (0,008 \text{ кг} + 0,5 \text{ кг})}{0,008 \text{ кг} \cdot 0,5 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{1200 \cdot 0,508}{0,004}} = \sqrt{\frac{609,6}{0,004}} = \sqrt{152400} \approx 390,4 \text{ м/с}$

Ответ:

Скорость пули перед попаданием в брусок была равна приблизительно 390,4 м/с.