Номер 27, страница 187, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 27, страница 187.

Условие.

27. На какой высоте скорость камня, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью 15 м/с, в 3 раза меньше его начальной скорости? Под каким углом к горизонту мог быть брошен камень? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость камня, $v_0 = 15$ м/с.

Скорость камня на искомой высоте $\text{h}$, $v = \frac{v_0}{3}$.

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с$^2$.

Найти:

Высоту $\text{h}$ – ?

Угол броска $\alpha$ – ?

Решение:

На какой высоте скорость камня, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью 15 м/с, в 3 раза меньше его начальной скорости?

Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, для решения задачи можно применить закон сохранения полной механической энергии. В начальный момент времени (при $h_0=0$) камень обладает только кинетической энергией. На высоте $\text{h}$ он будет обладать как кинетической, так и потенциальной энергией.

Начальная энергия системы:

$E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{m v_0^2}{2} + 0 = \frac{m v_0^2}{2}$

Энергия системы на высоте $\text{h}$:

$E = E_k + E_p = \frac{m v^2}{2} + mgh$

Согласно закону сохранения энергии, $E_0 = E$:

$\frac{m v_0^2}{2} = \frac{m v^2}{2} + mgh$

Сократим массу $\text{m}$ в каждом члене уравнения:

$\frac{v_0^2}{2} = \frac{v^2}{2} + gh$

Из этого уравнения выразим высоту $\text{h}$:

$gh = \frac{v_0^2 - v^2}{2} \implies h = \frac{v_0^2 - v^2}{2g}$

По условию задачи, на высоте $\text{h}$ скорость камня $v = \frac{v_0}{3}$. Подставим это выражение в формулу для высоты:

$h = \frac{v_0^2 - (\frac{v_0}{3})^2}{2g} = \frac{v_0^2 - \frac{v_0^2}{9}}{2g} = \frac{\frac{8v_0^2}{9}}{2g} = \frac{4v_0^2}{9g}$

Теперь подставим числовые значения из условия:

$h = \frac{4 \cdot (15 \text{ м/с})^2}{9 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{4 \cdot 225}{90} \text{ м} = \frac{900}{90} \text{ м} = 10 \text{ м}$

Ответ: Скорость камня будет в 3 раза меньше начальной на высоте 10 м.

Под каким углом к горизонту мог быть брошен камень?

Для того чтобы камень достиг высоты $h=10$ м, необходимо, чтобы максимальная высота подъема $H_{max}$ для выбранного угла броска $\alpha$ была не меньше этой высоты. То есть должно выполняться условие $H_{max} \ge h$.

Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$, вычисляется по формуле:

$H_{max} = \frac{(v_0 \sin\alpha)^2}{2g} = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

Подставим это в наше неравенство:

$\frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g} \ge h$

Мы уже нашли, что $h = \frac{4v_0^2}{9g}$. Подставим это выражение:

$\frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g} \ge \frac{4v_0^2}{9g}$

Сократим общие множители $\frac{v_0^2}{g}$ в обеих частях неравенства:

$\frac{\sin^2\alpha}{2} \ge \frac{4}{9}$

Отсюда получаем:

$\sin^2\alpha \ge \frac{8}{9}$

Поскольку угол броска $\alpha$ находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$, его синус является положительной величиной ($\sin\alpha > 0$). Следовательно, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства:

$\sin\alpha \ge \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Это неравенство определяет возможные углы броска. Найдем граничные значения угла. Нижняя граница $\alpha_1$ определяется из равенства $\sin\alpha_1 = \frac{2\sqrt{2}}{3}$:

$\alpha_1 = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx \arcsin(0.9428) \approx 70.5^\circ$

В силу симметрии функции синус относительно $90^\circ$ на интервале $(0^\circ, 180^\circ)$, верхняя граница $\alpha_2$ будет равна $180^\circ - \alpha_1$:

$\alpha_2 \approx 180^\circ - 70.5^\circ = 109.5^\circ$

Таким образом, угол броска $\alpha$ должен лежать в диапазоне $[\alpha_1, \alpha_2]$.

Ответ: Камень мог быть брошен под углом $\alpha$ к горизонту, удовлетворяющим условию $\arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \le \alpha \le 180^\circ - \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$, что приблизительно составляет диапазон от $70.5^\circ$ до $109.5^\circ$.