Номер 26, страница 186, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 26, страница 186.

Условие.

26. Камень бросили с поверхности земли под углом к горизонту со скоростью 20 м/с. Во время полёта камень побывал на высоте 15 м дважды. Чему была равна его скорость: в первый из этих моментов; во второй? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость камня, $v_0 = 20$ м/с
Высота, $h = 15$ м
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

$v_1$ - скорость камня в первый момент нахождения на высоте $\text{h}$.
$v_2$ - скорость камня во второй момент нахождения на высоте $\text{h}$.

Решение:

Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, для камня выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия $\text{E}$ является суммой кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий:

$E = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$

где $\text{m}$ - масса камня, $\text{v}$ - его скорость, $\text{h}$ - высота над поверхностью земли.

В начальный момент времени камень находится на поверхности земли ($h_0 = 0$) и имеет скорость $v_0$. Его полная энергия равна:

$E_0 = \frac{1}{2}mv_0^2 + mg \cdot 0 = \frac{1}{2}mv_0^2$

В момент, когда камень находится на высоте $h = 15$ м, его скорость равна $\text{v}$, а полная энергия составляет:

$E = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$

Согласно закону сохранения энергии, $E_0 = E$:

$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$

Сократим массу $\text{m}$ и выразим скорость $\text{v}$ на высоте $\text{h}$:

$\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}v^2 + gh$

$v^2 = v_0^2 - 2gh$

$v = \sqrt{v_0^2 - 2gh}$

Эта формула определяет модуль скорости камня. Он зависит только от начальной скорости и текущей высоты, но не от направления движения (вверх или вниз). Камень побывал на высоте 15 м дважды: при подъеме и при спуске. Так как высота в этих двух точках траектории одинакова, то и модуль скорости будет одинаковым.

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{(20 \text{ м/с})^2 - 2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 15 \text{ м}} = \sqrt{400 - 300} \text{ м/с} = \sqrt{100} \text{ м/с} = 10 \text{ м/с}$

в первый из этих моментов:

В первый раз камень оказывается на высоте 15 м во время подъема. Его скорость (модуль скорости) в этот момент составляет 10 м/с.

Ответ: 10 м/с.

во второй?:

Во второй раз камень находится на той же высоте 15 м во время спуска. Поскольку модуль скорости зависит только от высоты, его значение будет таким же, как и в первый момент, то есть 10 м/с. Направления векторов скорости в эти два момента будут различными, но их величины (модули) равны.

Ответ: 10 м/с.