Номер 28, страница 187, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 28, страница 187.

Условие.

28. Брусок массой $100 \text{ г}$ соединён с пружиной жёсткостью $200 \text{ Н/м}$ и лежит на гладком столе (рис. 18.8). Другой конец пружины закреплён в стене. Брусок сдвинули так, что пружина растянулась на $6 \text{ см}$, и отпустили без толчка. Найдите скорость бруска в момент, когда растяжение пружины равно $2 \text{ см}$.

Рис. 18.8

Решение 2.

Дано:

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

$k = 200 \text{ Н/м}$

$x_1 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$x_2 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$v_1 = 0 \text{ м/с}$

Найти:

$v_2$

Решение:

Так как стол гладкий, трением можно пренебречь. Система, состоящая из бруска и пружины, является замкнутой. Сила тяжести и сила реакции опоры перпендикулярны направлению движения и работы не совершают. Сила упругости пружины является консервативной силой. Следовательно, для данной системы выполняется закон сохранения полной механической энергии.

Полная механическая энергия системы $\text{E}$ состоит из кинетической энергии бруска $E_k$ и потенциальной энергии упруго-деформированной пружины $E_p$.

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

Рассмотрим два состояния системы.
Состояние 1: начальный момент, когда пружина растянута на величину $x_1$, а брусок покоится ($v_1 = 0$).
Состояние 2: момент, когда растяжение пружины составляет $x_2$, а скорость бруска равна $v_2$.

Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия в состоянии 1 равна полной механической энергии в состоянии 2 ($E_1 = E_2$).

$E_1 = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{kx_1^2}{2}$

$E_2 = \frac{mv_2^2}{2} + \frac{kx_2^2}{2}$

Приравниваем энергии, учитывая, что $v_1 = 0$:

$\frac{m \cdot 0^2}{2} + \frac{kx_1^2}{2} = \frac{mv_2^2}{2} + \frac{kx_2^2}{2}$

$\frac{kx_1^2}{2} = \frac{mv_2^2}{2} + \frac{kx_2^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$kx_1^2 = mv_2^2 + kx_2^2$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $v_2$:

$mv_2^2 = kx_1^2 - kx_2^2$

$mv_2^2 = k(x_1^2 - x_2^2)$

$v_2^2 = \frac{k(x_1^2 - x_2^2)}{m}$

$v_2 = \sqrt{\frac{k(x_1^2 - x_2^2)}{m}}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$v_2 = \sqrt{\frac{200 \cdot ((0.06)^2 - (0.02)^2)}{0.1}} = \sqrt{\frac{200 \cdot (0.0036 - 0.0004)}{0.1}}$

$v_2 = \sqrt{\frac{200 \cdot 0.0032}{0.1}} = \sqrt{2000 \cdot 0.0032} = \sqrt{6.4} \approx 2.53 \text{ м/с}$

Ответ: скорость бруска в указанный момент равна $\sqrt{6.4} \text{ м/с}$, что приблизительно составляет $2.53 \text{ м/с}$.