Номер 23, страница 186, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 23, страница 186.

Условие.

23. По графику зависимости от времени потенциальной энергии свободно падающего без начальной скорости тела массой 400 г (рис. 18.7) определите:

а) высоту, с которой падало тело;

б) механическую энергию тела через 2 с после начала падения;

в) кинетическую и потенциальную энергии тела через 1,5 с после начала падения;

г) скорость тела через 1,5 с после начала падения.

Рис. 18.7

Решение 2.

Дано:

$m = 400 \text{ г}$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

Из графика:

$E_{p0} = 180 \text{ Дж}$ (в момент времени $t = 0 \text{ с}$)

$t_{пад} = 3 \text{ с}$ (время падения до $E_p = 0$)

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Перевод в СИ:
$m = 400 \text{ г} = 0,4 \text{ кг}$

Найти:

а) $h_0$ - ?

б) $\text{E}$ через 2 с - ?

в) $E_k$ и $E_p$ через 1,5 с - ?

г) $\text{v}$ через 1,5 с - ?

Решение:

Тело падает свободно, значит, на него действует только сила тяжести. В этом случае полная механическая энергия тела сохраняется.

Полная механическая энергия $\text{E}$ равна сумме кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий: $E = E_k + E_p$.

Поскольку тело начинает падать без начальной скорости ($v_0 = 0$), его начальная кинетическая энергия $E_{k0} = 0$.

Из графика видно, что в начальный момент времени ($t=0$) потенциальная энергия тела $E_{p0} = 180 \text{ Дж}$.

Следовательно, полная механическая энергия тела в любой момент времени равна его начальной энергии:

$E = E_{k0} + E_{p0} = 0 + 180 = 180 \text{ Дж}$.

а) высоту, с которой падало тело

Начальная потенциальная энергия тела на высоте $h_0$ определяется формулой $E_{p0} = mgh_0$. Отсюда можем выразить начальную высоту:

$h_0 = \frac{E_{p0}}{mg}$

Подставим известные значения:

$h_0 = \frac{180 \text{ Дж}}{0,4 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{180}{4} = 45 \text{ м}$

Ответ: 45 м.

б) механическую энергию тела через 2 с после начала падения

Так как тело падает свободно и сопротивление воздуха не учитывается, полная механическая энергия сохраняется в течение всего времени падения. Она равна начальной энергии тела.

$E = E_{p0} = 180 \text{ Дж}$

Ответ: 180 Дж.

в) кинетическую и потенциальную энергии тела через 1,5 с после начала падения

Сначала найдем потенциальную энергию тела в момент времени $t = 1,5 \text{ с}$. Высота тела в момент времени $\text{t}$ при свободном падении без начальной скорости изменяется по закону $h(t) = h_0 - \frac{gt^2}{2}$. Тогда потенциальная энергия:

$E_p(t) = mgh(t) = mg(h_0 - \frac{gt^2}{2}) = mgh_0 - \frac{mg^2t^2}{2} = E_{p0} - \frac{mg^2t^2}{2}$

Подставим значения для $t = 1,5 \text{ с}$:

$E_p(1,5) = 180 - \frac{0,4 \cdot (10)^2 \cdot (1,5)^2}{2} = 180 - \frac{0,4 \cdot 100 \cdot 2,25}{2} = 180 - \frac{90}{2} = 180 - 45 = 135 \text{ Дж}$

Теперь найдем кинетическую энергию, используя закон сохранения энергии: $E = E_k(t) + E_p(t)$.

$E_k(1,5) = E - E_p(1,5) = 180 \text{ Дж} - 135 \text{ Дж} = 45 \text{ Дж}$

Ответ: потенциальная энергия равна 135 Дж, кинетическая энергия равна 45 Дж.

г) скорость тела через 1,5 с после начала падения

Скорость тела можно найти из формулы для кинетической энергии: $E_k = \frac{mv^2}{2}$.

$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$

Используем значение кинетической энергии, найденное в предыдущем пункте ($E_k(1,5) = 45 \text{ Дж}$):

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 45 \text{ Дж}}{0,4 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{90}{0,4}} = \sqrt{225} = 15 \text{ м/с}$

Также скорость можно найти по кинематической формуле для свободного падения без начальной скорости: $v = gt$.

$v = 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1,5 \text{ с} = 15 \text{ м/с}$

Ответ: 15 м/с.