Номер 18, страница 185, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 18, страница 185.

Условие.

18. Груз массой $\text{m}$ подвешен к пружине жёсткостью $\text{k}$.

а) Сделайте чертёж; направьте ось $\text{x}$ вертикально вниз и совместите начало координат с положением груза, при котором пружина не деформирована.

б) Запишите выражение для потенциальной энергии системы «груз + пружина». Примите, что нулевому значению потенциальной энергии груза соответствует положение груза, при котором пружина не деформирована.

в) При каком значении $x_{\text{min}}$ потенциальная энергия системы «груз + пружина» наименьшая?

г) Какому значению $x_{\text{равн}}$ соответствует положение равновесия системы «груз + пружина»?

д) Какой вывод можно сделать из полученных результатов?

е) В каком положении груза его скорость максимальна?

Решение 2.

Дано:

Масса груза: $\text{m}$

Жёсткость пружины: $\text{k}$

Найти:

а) Чертёж

б) $E_п(x)$ – ?

в) $x_{min}$ – ?

г) $x^{равн}$ – ?

д) Вывод

е) Положение, где $v = v_{max}$

Решение:

а) На чертеже изображена система, состоящая из пружины, подвешенной к опоре, и груза массой $\text{m}$. Ось $\text{x}$ направлена вертикально вниз. Начало координат ($x=0$) совмещено с положением нижнего конца пружины, когда она не деформирована. На груз действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вниз, и сила упругости пружины $F_{упр}$, направленная вверх.

б) Потенциальная энергия системы «груз + пружина» $E_п(x)$ складывается из потенциальной энергии груза в поле тяжести $E_{п, груз}$ и потенциальной энергии упруго деформированной пружины $E_{п, пруж}$.

$E_п(x) = E_{п, груз} + E_{п, пруж}$

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины определяется как $E_{п, пруж} = \frac{kx^2}{2}$, где $\text{x}$ – удлинение пружины. В нашей системе координат удлинение равно координате $\text{x}$.

Потенциальная энергия груза в поле тяжести $E_{п, груз} = mgh$. Согласно условию, нулевой уровень потенциальной энергии ($h=0$) соответствует положению $x=0$. Так как ось $\text{x}$ направлена вниз, то для произвольной координаты $x > 0$ высота относительно нулевого уровня будет $h = -x$. Таким образом, $E_{п, груз} = -mgx$.

Суммарная потенциальная энергия системы:

$E_п(x) = \frac{kx^2}{2} - mgx$

Ответ: $E_п(x) = \frac{kx^2}{2} - mgx$

в) Чтобы найти значение $x_{min}$, при котором потенциальная энергия $E_п(x)$ минимальна, нужно найти производную функции $E_п(x)$ по $\text{x}$ и приравнять её к нулю.

$\frac{dE_п(x)}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{kx^2}{2} - mgx) = kx - mg$

Приравняем производную к нулю для нахождения точки экстремума:

$kx - mg = 0$

$x = \frac{mg}{k}$

Чтобы убедиться, что это точка минимума, найдём вторую производную:

$\frac{d^2E_п(x)}{dx^2} = k$

Поскольку жёсткость пружины $k > 0$, вторая производная положительна, следовательно, найденная точка является точкой минимума.

Ответ: $x_{min} = \frac{mg}{k}$

г) Положение равновесия – это такое положение, в котором векторная сумма всех сил, действующих на груз, равна нулю. На груз действуют сила тяжести $F_g = mg$ (направлена по оси $\text{x}$) и сила упругости $F_{упр} = kx$ (направлена против оси $\text{x}$).

В проекции на ось $\text{x}$ условие равновесия имеет вид:

$mg - kx^{равн} = 0$

$kx^{равн} = mg$

$x^{равн} = \frac{mg}{k}$

Ответ: $x^{равн} = \frac{mg}{k}$

д) Сравнивая результаты, полученные в пунктах (в) и (г), мы видим, что $x_{min} = x^{равн}$.

Это означает, что положение устойчивого равновесия системы соответствует минимуму её потенциальной энергии. Это общий принцип для консервативных систем.

Ответ: Положение равновесия системы «груз + пружина» совпадает с положением, в котором её потенциальная энергия минимальна.

е) Полная механическая энергия системы $\text{E}$ сохраняется и равна сумме кинетической $E_к$ и потенциальной $E_п$ энергий: $E = E_к + E_п = \frac{mv^2}{2} + E_п(x) = const$.

Скорость груза $\text{v}$ будет максимальной, когда его кинетическая энергия $E_к = \frac{mv^2}{2}$ максимальна. Поскольку полная энергия $\text{E}$ постоянна, кинетическая энергия достигает максимума, когда потенциальная энергия $E_п(x)$ минимальна.

Из пункта (в) мы знаем, что потенциальная энергия минимальна при $x = x_{min} = \frac{mg}{k}$. Это положение, как было показано в пункте (г), является положением равновесия.

Ответ: Скорость груза максимальна в положении равновесия, то есть при $x = \frac{mg}{k}$.