Номер 15, страница 184, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 15, страница 184.

Условие.

15. На концах лёгкого стержня дли-ной $2l$ укреплены небольшие шары массой $\text{m}$ и $\text{M}$, причём $M > m$ (рис. 18.5). Стержень может вра-щаться без трения вокруг горизон-тальной оси $\text{O}$, проходящей через его середину. В начальный момент стержень удерживают в горизон-тальном положении (рис. 18.5, а). Когда его отпускают без толчка, он начинает вращать-ся и через некоторое время проходит положение равновесия (рис. 18.5, б).

Рис. 18.5

a) Какое соотношение выражает сохранение механической энер-гии шаров при переходе из начального положения в положе-ние равновесия?

б) Чему равен модуль скорости шаров $\text{v}$ в момент, когда стер-жень с шарами проходит положение равновесия (рис. 18.5, б)?

в) Чему равен модуль суммарного импульса шаров при прохож-дении положения равновесия?

Решение 2.

Дано:

Длина стержня: $2l$

Массы шаров: $\text{m}$ и $\text{M}$

Условие: $M > m$

Стержень вращается вокруг середины O.

Начальное положение - горизонтальное, состояние покоя.

Конечное положение - вертикальное (положение равновесия).

Найти:

а) Соотношение, выражающее сохранение механической энергии.

б) Модуль скорости шаров $\text{v}$ в положении равновесия.

в) Модуль суммарного импульса шаров $\text{P}$ в положении равновесия.

Решение:

Система состоит из двух шаров и стержня. Так как стержень легкий, а вращение происходит без трения, то для системы шаров выполняется закон сохранения механической энергии. Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии горизонтальное положение стержня (начальное положение).

а)

В начальном положении (рис. 18.5, а) стержень покоится, поэтому кинетическая энергия системы равна нулю ($E_{к1} = 0$). Потенциальная энергия системы также равна нулю ($E_{п1} = 0$), так как оба шара находятся на нулевом уровне. Полная начальная механическая энергия: $E_1 = E_{к1} + E_{п1} = 0$.

В конечном положении (рис. 18.5, б), когда стержень проходит положение равновесия, он расположен вертикально. Шар массой $\text{M}$ опустился на расстояние $\text{l}$ (расстояние от центра до конца стержня), а шар массой $\text{m}$ поднялся на расстояние $\text{l}$. Потенциальная энергия системы в этом положении: $E_{п2} = -Mgl + mgl = (m-M)gl$.

При вращении стержня оба шара движутся с одинаковой по модулю линейной скоростью $\text{v}$. Кинетическая энергия системы в положении равновесия: $E_{к2} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}Mv^2 = \frac{1}{2}(m+M)v^2$.

Полная конечная механическая энергия: $E_2 = E_{к2} + E_{п2} = \frac{1}{2}(m+M)v^2 + (m-M)gl$.

Согласно закону сохранения механической энергии, $E_1 = E_2$: $0 = \frac{1}{2}(m+M)v^2 + (m-M)gl$. Это и есть искомое соотношение. Его можно переписать в виде: $\frac{1}{2}(m+M)v^2 = (M-m)gl$. Это соотношение показывает, что увеличение кинетической энергии системы равно уменьшению ее потенциальной энергии.

Ответ: Соотношение, выражающее сохранение энергии: $\frac{1}{2}(m+M)v^2 = (M-m)gl$.

б)

Для нахождения модуля скорости шаров $\text{v}$ воспользуемся соотношением, полученным в пункте а): $\frac{1}{2}(m+M)v^2 = (M-m)gl$.

Выразим из этого уравнения $v^2$: $v^2 = \frac{2(M-m)gl}{M+m}$.

Тогда модуль скорости $\text{v}$ равен: $v = \sqrt{\frac{2(M-m)gl}{M+m}}$.

Ответ: $v = \sqrt{\frac{2(M-m)gl}{M+m}}$.

в)

Импульс является векторной величиной. Суммарный импульс шаров $\vec{P}$ равен векторной сумме импульсов каждого шара: $\vec{P} = \vec{p}_m + \vec{p}_M$.

В момент прохождения положения равновесия (вертикальное положение) скорости шаров направлены горизонтально и в противоположные стороны. Пусть скорость шара $\text{m}$ (находящегося вверху) направлена вправо, а скорость шара $\text{M}$ (находящегося внизу) — влево.

Импульс шара $\text{m}$: $\vec{p}_m$, его модуль $p_m = mv$.

Импульс шара $\text{M}$: $\vec{p}_M$, его модуль $p_M = Mv$.

Поскольку векторы $\vec{p}_m$ и $\vec{p}_M$ противоположно направлены, модуль их суммы равен разности их модулей: $P = |\vec{P}| = |p_M - p_m| = |Mv - mv| = (M-m)v$, так как по условию $M>m$.

Теперь подставим в это выражение значение скорости $\text{v}$, найденное в пункте б): $P = (M-m)\sqrt{\frac{2(M-m)gl}{M+m}}$.

Ответ: $P = (M-m)\sqrt{\frac{2(M-m)gl}{M+m}}$.