Номер 10, страница 181, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 10, страница 181.

Условие.

10. Шар удерживают в покое в положении, когда пружина растянута (рис. 18.2), и отпускают без толчка. Если начальная деформация пружины равна 6 см, то шар проходит положение равновесия со скоростью 2 м/с. При какой начальной деформации пружины шар будет проходить положение равновесия со скоростью 3 м/с?

Рис. 18.2

Решение 2.

Дано:

Начальная деформация пружины в первом случае $x_1 = 6 \text{ см}$

Скорость шара в положении равновесия в первом случае $v_1 = 2 \text{ м/с}$

Скорость шара в положении равновесия во втором случае $v_2 = 3 \text{ м/с}$

Начальная скорость шара в обоих случаях равна нулю, так как его отпускают из состояния покоя.

$x_1 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Начальную деформацию пружины во втором случае $x_2$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Так как трение и сопротивление воздуха не учитываются, полная механическая энергия системы "шар-пружина" сохраняется. Полная механическая энергия $\text{E}$ системы складывается из кинетической энергии шара $\text{K}$ и потенциальной энергии упругой деформации пружины $\text{U}$.

$E = K + U = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

где $\text{m}$ — масса шара, $\text{v}$ — его скорость, $\text{k}$ — жесткость пружины, а $\text{x}$ — ее деформация (растяжение).

Рассмотрим первый случай. В начальном положении шар покоится ($v_0=0$), а пружина растянута на величину $x_1$. Вся механическая энергия системы сосредоточена в потенциальной энергии пружины:

$E_{полн1} = \frac{k x_1^2}{2}$

Когда шар проходит положение равновесия, деформация пружины становится равной нулю ($x=0$), а скорость шара достигает значения $v_1$. Вся механическая энергия системы переходит в кинетическую энергию шара:

$E'_{полн1} = \frac{m v_1^2}{2}$

По закону сохранения энергии:

$E_{полн1} = E'_{полн1} \implies \frac{k x_1^2}{2} = \frac{m v_1^2}{2}$

Отсюда получаем первое уравнение:

$k x_1^2 = m v_1^2$ (1)

Теперь рассмотрим второй случай. В начальном положении пружина растянута на искомую величину $x_2$, а шар покоится. Полная начальная энергия системы:

$E_{полн2} = \frac{k x_2^2}{2}$

При прохождении положения равновесия скорость шара равна $v_2$, а деформация пружины равна нулю. Полная энергия системы в этот момент:

$E'_{полн2} = \frac{m v_2^2}{2}$

По закону сохранения энергии:

$E_{полн2} = E'_{полн2} \implies \frac{k x_2^2}{2} = \frac{m v_2^2}{2}$

Отсюда получаем второе уравнение:

$k x_2^2 = m v_2^2$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с неизвестными $\text{m}$ и $\text{k}$. Чтобы найти $x_2$, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{k x_2^2}{k x_1^2} = \frac{m v_2^2}{m v_1^2}$

Сократив $\text{k}$ и $\text{m}$, получим:

$\frac{x_2^2}{x_1^2} = \frac{v_2^2}{v_1^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

$\frac{x_2}{x_1} = \frac{v_2}{v_1}$

Выразим отсюда искомую деформацию $x_2$:

$x_2 = x_1 \cdot \frac{v_2}{v_1}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$x_2 = 0.06 \text{ м} \cdot \frac{3 \text{ м/с}}{2 \text{ м/с}} = 0.06 \cdot 1.5 = 0.09 \text{ м}$

Переведем результат обратно в сантиметры: $0.09 \text{ м} = 9 \text{ см}$.

Ответ: 9 см.