Номер 7, страница 180, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 7, страница 180.

Условие.

7. Подвешенный на нити груз отклонили в сторону, держа нить натянутой под углом $60^\circ$ к вертикали, и отпустили без толчка. Чему равна длина нити, если в нижней точке траектории скорость груза равна $2 м/с$?

Решение 2.

Дано:

Угол отклонения нити от вертикали, $\alpha = 60°$

Скорость груза в нижней точке траектории, $v = 2$ м/с

Начальная скорость груза, $v_0 = 0$ м/с (отпустили без толчка)

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Длину нити, $\text{L}$

Решение:

Данная задача решается с помощью закона сохранения механической энергии. В системе действуют только сила тяжести (консервативная сила) и сила натяжения нити (её работа равна нулю, так как она перпендикулярна вектору скорости). Следовательно, полная механическая энергия системы (груз-Земля) сохраняется.

Сравним два состояния системы:

1. Начальное состояние: груз отклонен на угол $\alpha$ и неподвижен.

2. Конечное состояние: груз проходит нижнюю точку траектории (положение равновесия).

Примем за нулевой уровень потенциальной энергии положение груза в нижней точке траектории.

В начальном состоянии скорость груза равна нулю ($v_0 = 0$), поэтому его кинетическая энергия $E_{k1} = 0$. Груз поднят на высоту $\text{h}$ относительно положения равновесия, поэтому его потенциальная энергия равна $E_{p1} = mgh$, где $\text{m}$ – масса груза.

Полная энергия в начальном состоянии: $E_1 = E_{k1} + E_{p1} = 0 + mgh = mgh$.

В конечном состоянии (нижняя точка) высота груза над нулевым уровнем равна нулю, поэтому его потенциальная энергия $E_{p2} = 0$. Скорость груза равна $\text{v}$, следовательно, его кинетическая энергия $E_{k2} = \frac{mv^2}{2}$.

Полная энергия в конечном состоянии: $E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{mv^2}{2} + 0 = \frac{mv^2}{2}$.

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$mgh = \frac{mv^2}{2}$

Сократим массу $\text{m}$ в обеих частях уравнения:

$gh = \frac{v^2}{2}$

Высоту $\text{h}$ можно выразить через длину нити $\text{L}$ и угол отклонения $\alpha$. Из геометрии маятника следует, что высота подъема $\text{h}$ равна разности между длиной нити $\text{L}$ и её проекцией на вертикаль $L \cos \alpha$:

$h = L - L \cos \alpha = L(1 - \cos \alpha)$

Подставим это выражение для $\text{h}$ в уравнение сохранения энергии:

$gL(1 - \cos \alpha) = \frac{v^2}{2}$

Теперь выразим из формулы искомую длину нити $\text{L}$:

$L = \frac{v^2}{2g(1 - \cos \alpha)}$

Подставим числовые значения из условия задачи: $v = 2$ м/с, $\alpha = 60°$, $g = 10$ м/с².

$\cos(60°) = 0.5$

$L = \frac{2^2}{2 \cdot 10 \cdot (1 - 0.5)} = \frac{4}{2 \cdot 10 \cdot 0.5} = \frac{4}{10} = 0.4$ м.

Ответ: длина нити равна $0.4$ м.

<--between_edition_2-->