Номер 35, страница 177, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 17. Энергия и работа. Потенциальная и кинетическая энергии - номер 35, страница 177.

Условие.

35. Брусок массой $\text{m}$ соскользнул из состояния покоя по наклонной плоскости длиной $\text{l}$ и высотой $\text{h}$. Чему равна кинетическая энергия бруска у основания наклонной плоскости, если коэффициент трения между бруском и плоскостью равен $\mu$?

Решение 2.

Дано:

Масса бруска: $\text{m}$
Длина наклонной плоскости: $\text{l}$
Высота наклонной плоскости: $\text{h}$
Коэффициент трения: $\mu$
Начальная скорость: $v_0 = 0$ (из состояния покоя)

Найти:

Кинетическая энергия бруска у основания наклонной плоскости: $E_k$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом изменения полной механической энергии. Изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил (в данном случае, силы трения).

$\Delta E = A_{тр}$

Изменение полной механической энергии равно разности конечной и начальной энергий:

$\Delta E = E_{кон} - E_{нач}$

В начальный момент времени (на вершине наклонной плоскости) брусок покоится, поэтому его кинетическая энергия равна нулю ($E_{k \, нач} = 0$), а потенциальная энергия максимальна и равна $E_{п \, нач} = mgh$. Таким образом, начальная полная энергия:

$E_{нач} = E_{k \, нач} + E_{п \, нач} = 0 + mgh = mgh$

В конечный момент времени (у основания наклонной плоскости) высота равна нулю, поэтому потенциальная энергия равна нулю ($E_{п \, кон} = 0$), а кинетическая энергия равна $E_k$. Таким образом, конечная полная энергия:

$E_{кон} = E_{k \, кон} + E_{п \, кон} = E_k + 0 = E_k$

Работа силы трения $A_{тр}$ отрицательна, так как сила трения направлена против движения, и равна произведению модуля силы трения $F_{тр}$ на пройденный путь $\text{l}$:

$A_{тр} = -F_{тр} \cdot l$

Сила трения скольжения определяется по формуле $F_{тр} = \mu N$, где $\text{N}$ — сила нормальной реакции опоры.

На наклонной плоскости сила нормальной реакции опоры уравновешивает проекцию силы тяжести на ось, перпендикулярную плоскости. Если угол наклона плоскости к горизонту равен $\alpha$, то:

$N = mg \cos\alpha$

Из геометрии наклонной плоскости (прямоугольного треугольника с гипотенузой $\text{l}$ и катетом $\text{h}$) мы можем выразить косинус угла $\alpha$. Длина основания наклонной плоскости равна $\sqrt{l^2 - h^2}$.

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{l^2 - h^2}}{l}$

Подставим это выражение в формулу для силы нормальной реакции:

$N = mg \frac{\sqrt{l^2 - h^2}}{l}$

Теперь найдем работу силы трения:

$A_{тр} = - \mu N l = - \mu \left(mg \frac{\sqrt{l^2 - h^2}}{l}\right) l = - \mu mg \sqrt{l^2 - h^2}$

Подставим все найденные значения в исходное уравнение закона изменения энергии:

$E_k - mgh = - \mu mg \sqrt{l^2 - h^2}$

Выразим искомую кинетическую энергию $E_k$:

$E_k = mgh - \mu mg \sqrt{l^2 - h^2}$

$E_k = mg(h - \mu \sqrt{l^2 - h^2})$

Ответ: $E_k = mg(h - \mu \sqrt{l^2 - h^2})$