Номер 34, страница 176, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 17. Энергия и работа. Потенциальная и кинетическая энергии - номер 34, страница 176.

Условие.

34. Две пружины жёсткостью $k_1 = 100\ \text{Н/м}$ и $k_2 = 200\ \text{Н/м}$ соединены так, как показано на рисунке 17.9. Снизу к системе пружин подвешен шар. Потенциальная энергия какой пружины больше? Во сколько раз?

Рис. 17.9

Решение 2.

Дано:

Жесткость первой пружины, $k_1 = 100$ Н/м
Жесткость второй пружины, $k_2 = 200$ Н/м

Найти:

Потенциальная энергия какой пружины больше и во сколько раз?

Решение:

На изображении показано последовательное соединение двух пружин. При таком соединении сила упругости, возникающая в каждой пружине под действием подвешенного шара, будет одинаковой. Обозначим эту силу как $\text{F}$.

$F_1 = F_2 = F$

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины вычисляется по формуле:

$E_p = \frac{k x^2}{2}$

где $\text{k}$ — жесткость пружины, а $\text{x}$ — её удлинение.

Используя закон Гука $F = kx$, можно выразить удлинение через силу: $x = \frac{F}{k}$. Подставим это выражение в формулу для потенциальной энергии, чтобы выразить её через силу $\text{F}$ и жесткость $\text{k}$:

$E_p = \frac{k}{2} \left(\frac{F}{k}\right)^2 = \frac{k F^2}{2 k^2} = \frac{F^2}{2k}$

Из полученной формулы видно, что при одинаковой силе упругости $\text{F}$ потенциальная энергия пружины обратно пропорциональна её жесткости $\text{k}$.

$E_p \sim \frac{1}{k}$

Следовательно, пружина с меньшей жесткостью будет обладать большей потенциальной энергией. В нашем случае $k_1 < k_2$ ($100$ Н/м $< 200$ Н/м), поэтому $E_{p1} > E_{p2}$.

Чтобы найти, во сколько раз потенциальная энергия первой пружины больше, чем второй, найдем их отношение:

$\frac{E_{p1}}{E_{p2}} = \frac{\frac{F^2}{2k_1}}{\frac{F^2}{2k_2}} = \frac{F^2}{2k_1} \cdot \frac{2k_2}{F^2} = \frac{k_2}{k_1}$

Подставим числовые значения:

$\frac{E_{p1}}{E_{p2}} = \frac{200 \text{ Н/м}}{100 \text{ Н/м}} = 2$

Таким образом, потенциальная энергия первой пружины (с меньшей жесткостью) в 2 раза больше потенциальной энергии второй пружины.

Ответ: Потенциальная энергия первой пружины ($k_1=100$ Н/м) больше в 2 раза.