Номер 27, страница 175, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 17. Энергия и работа. Потенциальная и кинетическая энергии - номер 27, страница 175.

Условие.

27. С балкона высотой 20 м брошен горизонтально со скоростью 10 м/с мяч массой 200 г. Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь. Чему равны значения потенциальной и кинетической энергий мяча:

а) сразу после броска;

б) через 1 с после броска;

в) непосредственно перед падением на землю?

Заметили ли вы какую-либо закономерность?

Решение 2.

Дано:

Высота, $h_0 = 20$ м
Начальная скорость, $v_0 = 10$ м/с
Масса, $m = 200$ г
Примем ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Перевод в СИ:
Масса, $m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

Значения потенциальной ($E_p$) и кинетической ($E_k$) энергий мяча:
a) сразу после броска;
б) через 1 с после броска;
в) непосредственно перед падением на землю.

Решение:

Потенциальная энергия тела, поднятого над землей, рассчитывается по формуле $E_p = mgh$, где $\text{h}$ — высота над поверхностью земли (нулевым уровнем).
Кинетическая энергия движущегося тела рассчитывается по формуле $E_k = \frac{1}{2}mv^2$, где $\text{v}$ — скорость тела.

а) сразу после броска
В начальный момент времени ($t_0 = 0$) высота мяча равна высоте балкона, $h_0 = 20$ м. Мяч брошен горизонтально, поэтому его начальная скорость равна $v_0 = 10$ м/с.
Вычислим потенциальную энергию:
$E_{p0} = mgh_0 = 0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²} \cdot 20 \text{ м} = 40 \text{ Дж}$.
Вычислим кинетическую энергию:
$E_{k0} = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.2 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с})^2 = 0.1 \cdot 100 = 10 \text{ Дж}$.
Ответ: Потенциальная энергия равна 40 Дж, кинетическая энергия равна 10 Дж.

б) через 1 с после броска
Через 1 секунду полета ($t_1 = 1$ с) найдем высоту мяча $h_1$ и его скорость $v_1$.
Движение тела, брошенного горизонтально, можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное (свободное падение) по вертикали.Высота мяча в момент времени $\text{t}$ определяется как $h(t) = h_0 - \frac{gt^2}{2}$.
$h_1 = 20 \text{ м} - \frac{10 \text{ м/с²} \cdot (1 \text{ с})^2}{2} = 20 - 5 = 15 \text{ м}$.
Потенциальная энергия в этот момент:
$E_{p1} = mgh_1 = 0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²} \cdot 15 \text{ м} = 30 \text{ Дж}$.
Скорость мяча имеет две составляющие: горизонтальную $v_x$ (она постоянна) и вертикальную $v_y$ (увеличивается под действием силы тяжести).
$v_x = v_0 = 10$ м/с.
$v_y = gt_1 = 10 \text{ м/с²} \cdot 1 \text{ с} = 10$ м/с.
Полную скорость $v_1$ найдем по теореме Пифагора: $v_1^2 = v_x^2 + v_y^2$.
$v_1^2 = (10 \text{ м/с})^2 + (10 \text{ м/с})^2 = 100 + 100 = 200 \text{ (м/с)²}$.
Кинетическая энергия в этот момент:
$E_{k1} = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.2 \text{ кг} \cdot 200 \text{ (м/с)²} = 20 \text{ Дж}$.
Ответ: Потенциальная энергия равна 30 Дж, кинетическая энергия равна 20 Дж.

в) непосредственно перед падением на землю
Непосредственно перед падением на землю высота мяча $h_f = 0$. Следовательно, его потенциальная энергия в этот момент равна нулю.
$E_{pf} = mgh_f = 0 \text{ Дж}$.
Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, для мяча выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная энергия в любой момент времени равна сумме начальных энергий:
$E_{полн} = E_{p0} + E_{k0} = 40 \text{ Дж} + 10 \text{ Дж} = 50 \text{ Дж}$.
Перед падением вся механическая энергия является кинетической ($E_{полн} = E_{pf} + E_{kf} = 0 + E_{kf}$), так как потенциальная энергия равна нулю.
$E_{kf} = E_{полн} = 50 \text{ Дж}$.
Ответ: Потенциальная энергия равна 0 Дж, кинетическая энергия равна 50 Дж.

Заметили ли вы какую-либо закономерность?
Да, можно заметить, что сумма потенциальной и кинетической энергии мяча (его полная механическая энергия) остается постоянной на протяжении всего полета: $E_{полн} = E_p + E_k = \text{const}$.
В нашем случае она всегда равна 50 Дж:
а) $40 \text{ Дж} + 10 \text{ Дж} = 50 \text{ Дж}$.
б) $30 \text{ Дж} + 20 \text{ Дж} = 50 \text{ Дж}$.
в) $0 \text{ Дж} + 50 \text{ Дж} = 50 \text{ Дж}$.
Это является проявлением закона сохранения механической энергии. Он выполняется, так как мы пренебрегли силой сопротивления воздуха. В процессе падения потенциальная энергия мяча переходит в кинетическую, но их сумма остается неизменной.