Номер 20, страница 173, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 17. Энергия и работа. Потенциальная и кинетическая энергии - номер 20, страница 173.

Условие.

20. В воде на глубине $h_1$ удерживают деревянный шарик массой $\text{m}$. Плотность дерева, из которого изготовлен шарик, обозначим $\rho_\text{д}$, плотность воды $\rho_\text{в}$. Когда шарик отпускают, он выскакивает из воды и поднимается на высоту $h_2$. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Выразите среднюю силу сопротивления воды через заданные в условии величины.

Решение 2.

Дано:

$h_1$ - начальная глубина шарика в воде, м

$\text{m}$ - масса шарика, кг

$\rho_д$ - плотность дерева, кг/м³

$\rho_в$ - плотность воды, кг/м³

$h_2$ - высота подъема шарика над водой, м

Найти:

$F_{сопр}$ - средняя сила сопротивления воды, Н

Решение:

Разобьем движение шарика на два этапа: движение в воде с глубины $h_1$ до поверхности и движение в воздухе от поверхности воды до максимальной высоты $h_2$.

1. Рассмотрим движение шарика в воздухе. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому для этого этапа выполняется закон сохранения механической энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность воды.

В момент вылета из воды шарик обладает кинетической энергией $E_{к1}$ и нулевой потенциальной энергией. На максимальной высоте $h_2$ его скорость равна нулю (кинетическая энергия $E_{к2} = 0$), а потенциальная энергия равна $E_{п2} = mgh_2$.

По закону сохранения энергии:$E_{к1} + E_{п1} = E_{к2} + E_{п2}$

$E_{к1} + 0 = 0 + mgh_2$

Следовательно, кинетическая энергия, с которой шарик вылетает из воды, равна $E_{к1} = mgh_2$.

2. Теперь рассмотрим движение шарика в воде. На шарик действуют сила тяжести $mg$, выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_А$ и сила сопротивления воды $F_{сопр}$. Движение происходит под действием этих сил. Воспользуемся теоремой об изменении полной механической энергии: изменение полной механической энергии тела равно работе неконсервативных сил. В данном случае, сила тяжести консервативна (ее работа учитывается через изменение потенциальной энергии), а сила Архимеда и сила сопротивления - нет.

$\Delta E = A_{А} + A_{сопр}$

Изменение полной механической энергии $\Delta E$ равно разности энергии на поверхности воды ($E_1$) и энергии на глубине $h_1$ ($E_0$).

Начальная энергия на глубине $h_1$ (шарик покоится):$E_0 = E_{к0} + E_{п0} = 0 + mg(-h_1) = -mgh_1$

Конечная энергия на поверхности воды:$E_1 = E_{к1} + E_{п1} = mgh_2 + 0 = mgh_2$

Изменение энергии:$\Delta E = E_1 - E_0 = mgh_2 - (-mgh_1) = mg(h_1 + h_2)$

Теперь найдем работу неконсервативных сил.Работа силы сопротивления $A_{сопр}$ отрицательна, так как сила направлена против движения:$A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot h_1$

Работа выталкивающей силы $A_{А}$ положительна:$A_{А} = F_А \cdot h_1$

Сила Архимеда равна $F_А = \rho_в g V$, где $\text{V}$ – объем шарика. Объем шарика можно выразить через его массу $\text{m}$ и плотность дерева $\rho_д$: $V = \frac{m}{\rho_д}$.Тогда $F_А = \rho_в g \frac{m}{\rho_д} = mg \frac{\rho_в}{\rho_д}$.

Работа силы Архимеда:$A_{А} = mg \frac{\rho_в}{\rho_д} h_1$

Подставим все в уравнение для изменения энергии:$mg(h_1 + h_2) = mg \frac{\rho_в}{\rho_д} h_1 - F_{сопр} h_1$

Выразим отсюда $F_{сопр}$:$F_{сопр} h_1 = mg \frac{\rho_в}{\rho_д} h_1 - mg(h_1 + h_2)$

$F_{сопр} = \frac{mg \frac{\rho_в}{\rho_д} h_1 - mg(h_1 + h_2)}{h_1}$

$F_{сопр} = mg \frac{\rho_в}{\rho_д} - mg \frac{h_1 + h_2}{h_1}$

$F_{сопр} = mg \left( \frac{\rho_в}{\rho_д} - \frac{h_1 + h_2}{h_1} \right) = mg \left( \frac{\rho_в}{\rho_д} - 1 - \frac{h_2}{h_1} \right)$

Ответ: $F_{сопр} = mg\left(\frac{\rho_в}{\rho_д} - 1 - \frac{h_2}{h_1}\right)$